Bài 105355

Question

Cho

$a , b$ là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy số

$(u_n),(v_n)$ bằng cách đặt

${u_1} = a,v_1= b,u_{n + 1} = \frac{u_n + v_n}{2},v_{n + 1} = \sqrt {{u_n}{v_n}} (n = 1,2,3...)$
Chứng minh rằng:

$\mathop {\lim }\limits {u_n} = \mathop {\lim }\limits {v_n}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 2:39:53 PM

Không giảm tổng quát ta xem

$0 < b < a$
Do

${u_n} + {v_n} = {\left( {\sqrt {{u_n}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{v_n}} } \right)^2} \ge 2\sqrt {{u_n}{v_n}}$ nên

${u_{n + 1}} \ge {v_{n + 1}}_{}$
Từ đó

${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {v_n}}}{2} \le \frac{{{u_n} + {u_n}}}{2} = {u_n}$

$\Rightarrow$ dãy

$\left\{ {{u_n}} \right\}$ giảm và bị chặn dưới bởi

${v_1} = b,{\rm{ }}{{\rm{v}}_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}{v_n}} \ge \sqrt {{v_n}{v_n}} = {v_n}$

$\Rightarrow$ dãy

$\left\{ {{v_n}} \right\}$ tăng và bị chặn trên bởi

${u_1} = a$ .
Do đó các dãy

$\left\{ {{u_n}} \right\}$ ,

$\left\{ {{v_n}} \right\}$ đều có giới hạn.

Ta lại có

$\begin{array}{l} 0 < {u_{n + 1}} - {v_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {v_n}}}{2} - \sqrt {{u_n}{v_n}} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {{u_n}} - \sqrt {{v_n}} } \right)^2} \\ \le \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{u_n}} - \sqrt {{v_n}} } \right)\left( {\sqrt {{u_n}} + \sqrt {{v_n}} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{u_n} - {v_n}} \right)\\ \le \frac{1}{{{2^2}}}\left( {{u_{n - 1}} - {v_{n - 1}}} \right) \le ... \le \frac{1}{{{2^n}}}\left( {{u_1} - {v_1}} \right) = \frac{{a - b}}{{{2^n}}} \end{array}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{u_{n + 1}} - {v_{n + 1}}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_{n + 1}}$

Bài 105355

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105355

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan