Bài 105332

Question

Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l}
\cos x + \cos y + \cos z = 1         (1)\\
{\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = 1      (2)\\
x + y + z = \pi                           (3)
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 1:49:38 PM

$1)$    Từ phương trình thứ $3$ của hệ ta có
$\begin{array}{l}
x + y = \pi - z \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{z}{2}\\
\Rightarrow c{\rm{os}}\frac{{x + y}}{2} = c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{z}{2}} \right){\rm{ = sin}}\frac{z}{2}{\rm{                            (4)}}
\end{array}$
Phương trình đầu của hệ tương đương với
$2c{\rm{os}}\frac{{x + y}}{2}c{\rm{os}}\frac{{x - y}}{2}{\rm{ + 1}} - 2{\sin ^2}\frac{z}{2} = 1$
$ \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{x + y}}{2}c{\rm{os}}\frac{{x - y}}{2} - {\sin ^2}\frac{z}{2} = 0$            $(5)$

Thế $(4)$ vào $(5)$ ta có:
      $\sin \frac{z}{2}c{\rm{os}}\frac{{x - y}}{2} - \sin \frac{z}{2}c{\rm{os}}\frac{{x + y}}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \sin \frac{z}{2}\left( {c{\rm{os}}\frac{{x - y}}{2} - c{\rm{os}}\frac{{x + y}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{z}{2}\sin \frac{y}{2}\sin \frac{x}{2} = 0$
Từ đó ta có $\sin \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow x = 2k\pi .$
Thế vào phương trình thứ $2$ của hệ ta được
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}y + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}z = 0 \Leftrightarrow \cos y = \cos z = 0$
$ \Leftrightarrow y = \pi /2 + mz,{\rm{   }}z = \pi /2 + n\pi .$
Lại do phương trình thứ $3$ của hệ ta có
$x + y + z = 2k\pi + \pi /2 + m\pi + \pi /2 + n\pi \Leftrightarrow n = - (m + 2k)$

Vậy nghiệm của hệ là :
$x = 2k\pi ,{\rm{ y}} = \pi /2 + m\pi {\rm{ , z}} = \pi /2 - (m + 2k)\pi .$
Do vai trò của $x, y, z$ như nhau, hệ còn có các nghiệm
$\begin{array}{l}
x = \pi /2 - (m + 2k)\pi ,{\rm{ y}} = 2k\pi {\rm{ , z}} = \pi /2 + m\pi ,\\
{\rm{ }}x = \pi /2 + m\pi ,{\rm{ y}} = \pi /2 - \left( {m + 2k} \right)\pi {\rm{ , z = 2k}}\pi {{    (k,m}} \in {\rm{Z)}}
\end{array}$

Bài 105332

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105332

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan