Bài 104110

Question

Khử x và y từ hệ $\begin{cases}a\sin^2x+b\cos^2x=1 \\ a\cos^2x+b\sin^2y=1\\a\tan x=b\tan y \end{cases} (a \neq b)$

score 0 · Answer 1

Điều kiện : $\cos x \neq 0, \cos y \neq 0$. Hai phương trình đầu của hệ có thế biến đổi thành dạng:
$(a-1)\tan^2 x=1-b$ (1)
$(b-1)\tan^2 y=1-a $ (2)
Nhưng $a\neq 1$ vì nếu $a=1$ thì từ (1) ta có thể có $b=1$ trái với điều kiện $a\neq b$ . Tương tự, nếu $b=1$ thì $a=1$ . Vậy ta có thể chia (1) cho (2) được:
$$(\frac{\tan x}{\tan y})^2=(\frac{1-b}{1-a})^2$$

Lại lưu ý thêm rằng $a\neq 0$. Thật thế , nếu $a=0$ thì từ phương trình thứ hai ta được $\sin y\neq 0$ và từ phương trình thứ ba được $b=0$ tức là $a=b=0$ , không thể được
Với điều lưu ý này , từ phương trình thứ ba ta có:
$$(\frac{\tan x}{\tan y})^2=\frac{b^2}{a^2}$$
Như thế: $\frac{b^2}{a^2}=(\frac{1-b}{1-a})^2$
Nếu $\frac{b}{a}=\frac{1-b}{1-a} $ thì $a=b$, không thế được
Nếu $\frac{b}{a}=-\frac{1-b}{1-a} $thì $a+b=2ab$
Vậy sau khi khử x và y ta được hệ thức sau: $a+b=2ab$

Bài 104110

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104110

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan