Bài 105330

Question

Cho hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x\cos y = p\cos \alpha (1)\\
\sin xsin y = p\sin \alpha (2)
\end{array} \right.$
1) Giải hệ khi $p = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
2) Tìm các giá trị của $p$ để hệ có nghiệm với $\forall \alpha $.
3) Tìm các giá trị của $p$ để có ít nhất một giá trị của $\alpha $ làm cho hệ có nghiệm.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 1:46:18 PM

$1)$ Thay $p = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x\cos y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}\alpha \\
\sin {\rm{x}}\sin y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha
\end{array} \right.$
Cộng trừ từng vế dẫn tới:
$\left\{ \begin{array}{l}
\cos (x - y) = c{\rm{os}}\left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\\
\cos (x + y) = c{\rm{os}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)
\end{array} \right.$        $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = \pm \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) + 2k\pi \\
x + y = \pm \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) + 2n\pi
\end{array} \right.$
Chuyển thành $4$ hệ, dẫn tới các nghiệm là:
a) $\left\{ \begin{array}{l}
x = \alpha + (k + n)\pi \\
y = \frac{\pi }{4} + (n - k)\pi
\end{array} \right.$            b) $\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + (k + n)\pi \\
y = - \alpha + (n - k)\pi
\end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + (k + n)\pi \\
y = \alpha + (n - k)\pi
\end{array} \right.$            d) $\left\{ \begin{array}{l}
x = - \alpha + (k + n)\pi \\
y = - \frac{\pi }{4} + (n - k)\pi
\end{array} \right.$

$2)$ Cộng trừ từng vế dẫn tới hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
\cos (x - y) = p\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right){\rm{           (3)}}\\
\cos (x + y) = p\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right){\rm{            (4)}}
\end{array} \right.$
Để hệ $(3), (4)$ có nghiệm với $\forall \alpha $ thì vế phải ở $(3)$ và $(4)$ phải có trị tuyệt đối $ \le 1$ với $\forall \alpha $$ \Leftrightarrow \left| p \right| \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$3)$ Phải $\exists \alpha $ để xảy ra hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {p\sqrt 2 } \right|.\left| {\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \le 1{\rm{        (5)}}\\
\left| {p\sqrt 2 } \right|.\left| {c{\rm{os}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \le 1{\rm{        (6)}}
\end{array} \right.$
•    Điều kiện cần là : (bình phương các vế rồi cộng từng vế)
$2{p^2} \le 2 \Leftrightarrow \left| p \right| \le 1$
•    Đó cũng là điều kiện đủ để hệ $(5), (6)$ có nghiệm vì chẳng hạn $(5), (6)$ sẽ thỏa mãn khi
$\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = c{\rm{os}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
•    Vậy $\left| p \right| \le 1$ sẽ có ít nhất một giá trị của $\alpha $ làm cho hệ có nghiệm

Bài 105330

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105330

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan