Bài 105312

Question

Giải các bất phương trình
a/

$5 x^{2} . 4^{8 x^{2} +3x}+8x+ 2^{16 x^{2} +6x } > 10 x^{2} +2 +x. 4^{8 x^{2} +3x+1}$
b/

$3^{2x}-8. 3^{x+ \sqrt{ x+4}} – 9^{ \sqrt{ x+4}+1}>0$
c/

$4^{x} \leq 3.2^{x+ \sqrt{ x}} +4^{1+ \sqrt{ x}}$
d/

$4 x^{2} + 3^{ \sqrt{ x}+1}+x.3^{ \sqrt{ x}}< 2 x^{2} . 3^{ \sqrt{ x}} +2x+6$

score 0 · Answer 1

a/

$5 x^{2} . 4^{8 x^{2} +3x}+8x+ 2^{16 x^{2} +6x } > 10 x^{2} +2 +x. 4^{8 x^{2} +3x+1}$

$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x} \left( 5 x^{2} -4x+1 \right) – 2 \left( 5 x^{2} -4x+1 \right) >0$

$\Leftrightarrow \left( 5 x^{2} -4x+1 \right) \left( 4^{8 x^{2} +3x}-2 \right)>0$

$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}-2 >0$ do

$5 x^{2} -4x+1 >0 \forall x, \Delta=1>0$

$\Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}>2 \Leftrightarrow 4^{8 x^{2} +3x}> 4^{\frac{ 1}{2}}$

$\Leftrightarrow 8 x^{2} +3x> \frac{ 1}{2}$ (do 4>0)

$\Leftrightarrow 16 x^{2} +6x -1 >0 \Leftrightarrow x < - \frac{ 1}{2}$ hay

$x> \frac{ 1}{8}$
Vậy bất phương trình có nghiệm

$x\in \left ( -\infty;-\frac{1}{2} \right )\cup \left ( \frac{1}{8} ;+\infty \right )$

b/

$3^{2x}-8. 3^{x+ \sqrt{ x+4}} – 9^{ \sqrt{ x+4}+1}>0$ điều kiện:

$x \geq -4$

$\Leftrightarrow 3^{2x}-8. 3^{ \sqrt{ x+4}}.3^{x}-9.9^{\sqrt{ x+4}}>0$
Đặt

$3^{x}=t, t>0: t^{2}-8.3^{ \sqrt{ x+4}}.t -9. 9^{ \sqrt{ x+4}}>0$
Vế trái là tam thức của t có

$\Delta ‘= \left(4.3^{ \sqrt{ x+4}} \right)^{2} +9. 9^{ \sqrt{ x+4}}= 16. 9^{ \sqrt{ x+4}}+9. 9^{ \sqrt{ x+4}}= 25.9^{ \sqrt{ x+4}}$

$\Rightarrow \sqrt{ \Delta ‘}=5. 3^{ \sqrt{ x+4}}$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t=4.3^{ \sqrt{ x+4}}-5. 3^{ \sqrt{ x+4}}=-2. 3^{ \sqrt{ x+4}}<0 (L) \\ t=4. 3^{ \sqrt{ x+4}}+5. 3^{ \sqrt{ x+4}}=9. 3^{ \sqrt{ x+4}}=3^{2+ \sqrt{ x+4}} \end{array} \right.$

$\Rightarrow 3^{x} >3^{ 2+\sqrt{ x+4}} \Leftrightarrow x>2+ \sqrt{ x+4} \Leftrightarrow x-2 > \sqrt{ x+4}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 2 \\ x^{2} -4x+4 > x+4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ x^{2} -5x >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ x<0, x>5 \end{cases} \Leftrightarrow x>5$
Vậy bất phương trình có nghiệm x>5.

c/

$4^{x} \leq 3.2^{x+ \sqrt{ x}} +4^{1+ \sqrt{ x}}$
Điều kiện:

$x \geq 0$
Bất phương trình

$\Leftrightarrow \frac{ 2^{2x}}{2^{x+ \sqrt{ x}}} \leq 3+ \frac{ 2^{2+2 \sqrt{ x}}}{2^{x+ \sqrt{ x}}} \Leftrightarrow 2^{x+ \sqrt{ x}} \leq 3+2^{2}. 2^{ \sqrt{ x}-x}$
Đặt

$2^{x- \sqrt{ x} }=t, t>0 \Rightarrow 2^{ \sqrt{ x}-x}= \frac{ 1}{2^{ x-\sqrt{ x}}}$

$t \leq 3+ \frac{ 4}{t} \Leftrightarrow t^{2}-3t-4 \leq 0$

$\Leftrightarrow -1 \leq t \leq 4 \Leftrightarrow 0 <t \leq 4$

$\Leftrightarrow 2^{ x-\sqrt{ x}} \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq \sqrt{ x} \leq 2$

$\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{ x} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4$
Vậy bất phương trình có nghiệm

$0\leq x\leq 4.$

d/

$4 x^{2} + 3^{ \sqrt{ x}+1}+x.3^{ \sqrt{ x}}< 2 x^{2} . 3^{ \sqrt{ x}} +2x+6$
Điều kiện:

$x \geq 0$
Bất phương trình

$\Leftrightarrow 4 x^{2} – 2x -6 <3^{ \sqrt{ x}} \left( 2 x^{2} –x -3 \right)$

$\Leftrightarrow \left( 2 x^{2} –x -3 \right) \left(3^{ \sqrt{ x}}-2 \right) >0$

$\Rightarrow$ nghiệm của phương trình:

$0 \leq x < \log_{3^{2} }{2}$ hay

$x> \frac{ 3}{2}$

Bài 105312

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105312

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan