Bài 105300

Question

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2xy - 7{y^2} \ge \frac{{1 - m}}{{1 + m}}\\
3{x^2} + 10xy - 5{y^2} \le - 2
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 11:14:40 AM

Điều kiện: $m \ne - 1,y \ne 0$
Giả sử ${x_o},{y_o}$ là một nghiệm của hệ, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_o}^2 + 2{x_o}{y_o} - 7{y_o}^2 \ge \frac{{1 - m}}{{1 + m}}\\
3{x_o}^2 + 10{x_o}{y_o} - 5{y_o}^2 \le - 2
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2{x_o}^2 - 4{x_o}{y_o} + 14{y_o}^2 \le - 2.\frac{{1 - m}}{{1 + m}}\\
3{x_o}^2 + 10{x_o}{y_o} - 5{y_o}^2 \le - 2
\end{array} \right.$
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức của hệ, ta có: $x_o^2 + 6{x_o}{y_o} + 9y_o^2 \le - 2\left( {1 + \frac{{1 - m}}{{1 + m}}} \right)$
$ \Leftrightarrow {({x_o} + 3{y_o})^2} \le - \frac{4}{{1 + m}}$; suy ra $m < - 1$.
Với $m < - 1$ ta có :
    $\frac{{1 - m}}{{1 + m}} + 1 = \frac{2}{{1 + m}} < 0 \Rightarrow \frac{{1 - m}}{{1 + m}} < - 1$
Xét hệ
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2xy - 7{y^2} \ge - 1\\
3{x^2} + 10xy - 5{y^2} \le - 2
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2{x^2} - 4xy + 14{y^2} \le 2\\
3{x^2} + 10xy - 5{y^2} \le - 2
\end{array} \right.{\rm{    (1)}}$
Cộng vế với vế hai bất phương trình của hệ $(1)$, ta có
$\begin{array}{l}
{x^2} + 6xy + 9{y^2} \le 0 \Leftrightarrow {(x + 3y)^2} \le 0\\
\Rightarrow x + 3y = 0 \Leftrightarrow x = - 3y
\end{array}$
Thế vào hai bất phương trình của hệ $(1)$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} \le \frac{1}{4}\\
{y^2} \ge \frac{1}{4}
\end{array} \right.{\rm{   }} \Rightarrow {{\rm{y}}^2} = \frac{1}{4}$
Từ đó hệ $(1)$ có nghiệm :$y = \frac{1}{2},x = - \frac{3}{2};{\rm{ y}} = - \frac{1}{2};{\rm{ }}y = \frac{3}{2}$
Hệ $(1)$ có nghiệm suy ra hệ ban đầu có nghiệm. Vậy $m \le - 1$

Bài 105300

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105300

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan