Bài 105292

Question

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + a \le 0\\
{x^2} - 4x - 6a \le 0.
\end{array} \right.$
a) Tìm $a$ để hệ có nghiệm.
b) Tìm $a$ để hệ có nghiệm duy nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 10:58:45 AM

a) Hệ đã cho tương đương với hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
{(x + 1)^2} - (1 - a) \le 0{\rm{           (1)}}\\
{(x - 2)^2} - (6a + 4) \le 0{\rm{        (2)}}
\end{array} \right.$

$ (1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow 1 - a \ge 0 \Leftrightarrow a \le 1$, khi đó nghiệm của $(1)$ là
    ${x_1} = - 1 - \sqrt {1 - a} \le x \le - 1 + \sqrt {1 - a} = {x_2}$;

$(2)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow 6a + 4 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge - 2/3$, khi đó nghiệm của $(2)$ là
    ${x_3} = 2 - \sqrt {6a + 4} \le x \le 2 + \sqrt {6a + 4} = {x_4}$

$(1)$ và $(2)$ đồng thời có nghiệm $ \Leftrightarrow - 2/3 \le a \le 1$.

Dễ nhận thấy rằng ${x_4} > {x_2}$, do đó hệ $(1) – (2)$ có nghiệm cần và đủ là ${x_3} < {x_2}$
    $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2 - \sqrt {6a + 4} \le - 1 + \sqrt {1 - a} \\
\Leftrightarrow 3 \le \sqrt {6a + 4} + \sqrt {1 - a} {\rm{                      (3)}}
\end{array}$
Hai vế của $(3)$ đều $ \ge 0$, bình phương và rút gọn ta được
    $4 - 5a \le 2\sqrt {6a + 4} {\rm{ }}\sqrt {1 - a} $            $(4)$
Với $a < 4/5$, hai vế của (4) đều $ \ge 0$, bình phương và rút gọn ta được $a(49a - 48) \Rightarrow 0 \le a \le 4/5{\rm{ (}} < 48/49)$
                        Đáp số : $0 \le a \le 1$

b) Từ kết quả của phần 1), hệ $(1) – (2)$ có nghiệm duy nhất khi
i) ${x_2} = {x_3} \Rightarrow a = 0$
ii) ${x_3} < {x_2} = {x_1} \Rightarrow a = 1$

Đáp số : $a = 0; a = 1.$

Bài 105292

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105292

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan