Bài 105271

Question

Giải và biện luận theo $m$ hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y} - \sqrt {x - y} = m\\
\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = {m^2}
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 10:03:23 AM

Điều kiện của nghiệm:
    $\left\{ \begin{array}{l}
x + y \ge 0\\
x - y \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \left| y \right|{\rm{ }}( \ge 0)$
Đặt $x = t\left| y \right| \Rightarrow t \ge 1$ khi đó hệ đã cho trở thành
    $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {t\left| y \right| + y} - \sqrt {t\left| {y - y} \right|} {\rm{ }} = m{\rm{      (1)}}\\
\left| y \right|(\sqrt {{t^2} + 1} + \sqrt {{t^2} - 1} ) = {m^2}{\rm{         (2)}}
\end{array} \right.$
Từ $(2)$ ta có
$\left| y \right| = \frac{{{m^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} + \sqrt {{t^2} - 1} }} \Rightarrow y = \frac{{ \pm {m^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} + \sqrt {{t^2} - 1} }}$
$x = t\left| y \right| = \frac{{t{m^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} + \sqrt {{t^2} - 1} }}$

Vấn đề còn lại là xác định t. Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có:
    $\begin{array}{l}
\left| y \right|(\sqrt {{t^2} + 1} + \sqrt {{t^2} - 1} ) = {(\sqrt {t\left| y \right| + y} - \sqrt {t\left| y \right| - y} )^2}\\
= t\left| y \right| + y + t\left| y \right| - y - 2\left| y \right|\sqrt {{t^2} - 1}
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left| y \right|(\sqrt {{t^2} + 1} + 3\sqrt {{t^2} - 1} - 2t) = 0$

a) $y = 0 \Rightarrow x = 0$, thế vào $(1)$ ta có $m = 0$ (thỏa mãn $(3)$)

b) $y \ne 0$ ta có: $\sqrt {{t^2} + 1} + 3\sqrt {{t^2} - 1} = 2t$                    $(4)$
Do $t \ge 1$, cả hai vế của $(4)$ đều dương, bình phương ta được
$(4)$ $ \Leftrightarrow 6\sqrt {{t^4} - 1} = 8 - 6{t^2} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t^4} - 1} = 4 - 3{t^2}$           $ (5)$
Điều kiện của $(5)$ : $4 - 3{t^2} \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt 3 /3 \ge t \ge 1$.
Lại bình phương ta có :
$(5)$ $ \Leftrightarrow 24{t^2} = 25 \Leftrightarrow {t^2} = 25/24 \Rightarrow t = 5\sqrt 6 /12$.
Vậy $(3)$ là nghiệm của hệ trong đó $t = 5\sqrt 6 /12$

Chú ý: Có thể đặt $u = \sqrt {x + y} \ge 0,v = - \sqrt {x - y} \le 0$ đưa về hệ đối xứng của $u$ và $v$.

Bài 105271

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105271

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan