Bài 105257

Question

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{{89}}{2}\\
\left| {x + \frac{1}{y}} \right| + \left| {\frac{{10}}{3} - x + y} \right| = \frac{{10}}{3} + y + \frac{1}{y}
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 9:32:33 AM

Điều kiện của nghiệm : $y \ne 0$
Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng    $\left| {x + \frac{1}{y}} \right| + \left| {\frac{{10}}{3} - x + y} \right| = \left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {\frac{{10}}{3} - x + y} \right)   $
Và lưu ý rằng: $\left| a \right| + \left| b \right| = a + b \Leftrightarrow {\rm{a }} \ge {\rm{ 0, b}} \ge {\rm{0}}$
Thì phương trình thứ hai của hệ tương đương với hệ:
$x + \frac{1}{y} \ge 0{\rm{      (1), }}          \frac{{10}}{3} - x + y \ge 0$    $(2)$
Cũng từ phương trình thứ $2$ của hệ ta có điều kiện : $\frac{{10}}{3} + y + \frac{1}{{{y_{}}}} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + (10/3)y + 1}}{y} \ge 0 \Leftrightarrow - 3 \le y \le - 1/3{\rm{ }}$ hoặc $y > 0$
Với $ - 3 \le y \le - 1/3$ từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$\begin{array}{l}
0 < - 1/y \le x \le 10/3 + y \Leftrightarrow {x^2} \le {(10/3 + y)^2} \Rightarrow \\
{x^2} + {y^2} = 82/9 \le {(10/3 + y)^2} + {y^2} \Leftrightarrow {y^2} + (10/3)y + 1 \ge 0{\rm{    (4)}}
\end{array}$
Lại do $y < 0$ , từ $(3)$ suy ra: ${y^2} + (10/3)y + 1 \le 0    (5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ $ \Rightarrow {y^2} + (10/3)y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 3,{\rm{ }}y{\rm{ }} = - 1/3$
Thế vào ${x^2} = 82/9 - {y^2}$ lần lượt ta được x = 1/3 , x = 3
Vậy trong trường hợp này hệ có $2$ nghiệm
        $(1/3, - 3),(3, - 1/3)$
a) Với y > 0 : $(3)$ luôn được thỏa mãn.
i) $x \ge 0 \Rightarrow x = \sqrt {82/9 - {y^2}} $ với $0 < y \le \sqrt {82/9} $. Khi đó $(1)$ được thỏa mãn.
Vì $x < \sqrt {82/9} < 10/3 + y$ nên $(2)$ được thỏa mãn.
ii) $x < 0 \Rightarrow x = - \sqrt {82/9 - {y^2}} $. Khi đó $(2)$ được thỏa mãn. Đối với $(1)$:
$ - x \le 1/y \Rightarrow \sqrt {82/9 - {y^2}} \le 1/y \Rightarrow 82/9 - {y^2} \le 1/{y^2}$
$ \Rightarrow {y^4} - (82/9){y^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le 1/9, {y^2} \ge 9 \Rightarrow y \le 1/3,y \ge 3$
Vậy với $0 < y \le 1/3,3 \le y \le \sqrt {82/9} $ thì $x = - \sqrt {82/9 - {y^2}} $

Bài 105257

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105257

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan