Bài 105256

Question

Tìm các giá trị của

$a$ để hệ hai phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {{x^2} - 5x + 4} \right| - 9{x^2} - 5x + 4 + 10x\left| x \right| = 0\\ {x^2} - 2(a - 1)x + a(a - 2) = 0 \end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 9:20:43 AM

Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng:

$\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| + ({x^2} - 5x + 4) + 10x(\left| x \right| - x) = 0$

$(1)$
Ta có

${x^2} - 5x + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 4$ .
Từ đó suy ra
a)

$0 \le x < 1,x > 4:(1)$ vô nghiệm.
b)

$1 \le x \le 4$ là nghiệm của

$(1)$
c) Xét

$x < 0$ :

$(1)$

$\Leftrightarrow 2({x^2} - 5x + 4) - 20{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow 18{x^2} + 10x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 4/9$ (loại)
Vậy nghiệm của phương trình:

$x = - 1$ hoặc

$1 \le x \le 4$ .

Giải phương trình thứ hai của hệ. Đặt

$f(x) = {x^2} - 2(a - 1)x + a(a - 2)$ .
Để hệ có nghiệm duy nhất cần có một trong các trường hợp sau:
a)

$a$

$\left\{ \begin{array}{l} f( - 1) = 0\\ f(1)f(4) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 1 = 0\\ ({a^2} - 4a + 3)({a^2} - 10a + 24) > 24 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 1$

b)

$\left\{ \begin{array}{l} f( - 1) \ne 0\\ f(1)f(4) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 1 \ne 0\\ ({a^2} - 4a + 3)({a^2} - 10a + 24) < 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 1 < a < 3$ hoặc

$4 < a < 6.$

c) Xét

$\begin{array}{l} f( - 1) = 0,f(1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 1 \ne 0\\ {a^2} - 4a + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3 \end{array}$
Với

$a = 3, f(x)$ có

$2$ nghiệm

${x_1} = a - 2 = 1,{x_2} = a = 3$ cũng là nghiệm của

$(1)$ (loại.)
Lại xét

$f( - 1) \ne 0,f(4) = 0 \Rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 1 \ne 0\\ {a^2} - 10a + 24 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4,a = 6$
Với

$a = 4$ ta có

$x_1 = 4, x_2 = 6$ , khi đó chỉ có

$x_1 = 4$ là nghiệm của

$(1)$

$\Rightarrow a = 6$ chấp nhận được.

Đáp số

$a = -1 , 1 < a < 3$ hoặc

$4 < a \le 6$

Bài 105256

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105256

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan