Bài 105256

Question

Tìm các giá trị của $a$ để hệ hai phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| - 9{x^2} - 5x + 4 + 10x\left| x \right| = 0\\
{x^2} - 2(a - 1)x + a(a - 2) = 0
\end{array} \right.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/23/2012 9:20:43 AM

Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng:
$\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| + ({x^2} - 5x + 4) + 10x(\left| x \right| - x) = 0$        $(1)$
Ta có ${x^2} - 5x + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 4$.
Từ đó suy ra
a) $0 \le x < 1,x > 4:(1)$ vô nghiệm.
b) $1 \le x \le 4$ là nghiệm của $(1)$
c) Xét $x < 0$:

$(1)$ $ \Leftrightarrow 2({x^2} - 5x + 4) - 20{x^2} = 0$
   $ \Leftrightarrow 18{x^2} + 10x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 4/9$ (loại)
Vậy nghiệm của phương trình: $x = - 1$ hoặc $1 \le x \le 4$.

Giải phương trình thứ hai của hệ. Đặt $f(x) = {x^2} - 2(a - 1)x + a(a - 2)$.
Để hệ có nghiệm duy nhất cần có một trong các trường hợp sau:
a) $a$$\left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) = 0\\
f(1)f(4) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 = 0\\
({a^2} - 4a + 3)({a^2} - 10a + 24) > 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 1$

b)$\left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) \ne 0\\
f(1)f(4) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 \ne 0\\
({a^2} - 4a + 3)({a^2} - 10a + 24) < 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow 1 < a < 3$ hoặc $4 < a < 6.$

c) Xét
$\begin{array}{l}
f( - 1) = 0,f(1) = 0 \Rightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 \ne 0\\
{a^2} - 4a + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3
\end{array}$
Với $a = 3, f(x)$ có $2$ nghiệm ${x_1} = a - 2 = 1,{x_2} = a = 3$ cũng là nghiệm của $(1)$ (loại.)
Lại xét
    $f( - 1) \ne 0,f(4) = 0 \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 \ne 0\\
{a^2} - 10a + 24 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4,a = 6$
Với $a = 4$ ta có $x_1 = 4, x_2 = 6$, khi đó chỉ có $x_1 = 4$ là nghiệm của $(1)$ $ \Rightarrow a = 6$ chấp nhận được.

Đáp số $a = -1 , 1 < a < 3$ hoặc $4 < a \le 6$

Bài 105256

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105256

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan