Bài 105179

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt các chiều dương của các trục tọa độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) có dạng:
$$(P): n_1(x-1)+n_2(y-1)+n_3(z-1)=0$$
với $n_1, n_2, n_3>0$
$ (P): n_1x+n_2y+n_3z-n_1-n_2-n_3=0$
Khi đó , tọa độ của A, B, C là:
$A(\frac{n_1 + n_2 + n_3}{n_1}; 0; 0); B(0; \frac{n_1 + n_2 + n_3}{n_2}; 0); C(0; 0; \frac{n_1 + n_2 + n_3}{n_3})$
Thể tích của tứ diện OABC là :
$V_{OABC}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC=\frac{1}{6}\frac{(n_1 + n_2 + n_3)^3}{n_1.n_2.n_3}\geq \frac{1}{6}\frac{27n_1.n_2.n_3}{n_1.n_2.n_3}=\frac{9}{2}$
Vậy $V_{OABC}$ min là $\frac{9}{2}$ khi $n_1=n_2=n_3$ và khi đó: $(P): x+y+z-3=0$

Bài 105179

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105179

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan