Bài 105006

Question

Cho phương trình: $m.4^x - ( 2m + 1).2^x + m + 4 = 0$                (1)
1)    Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm
2)    Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3)    Tìm $m$ để phương trình có hai trái dấu nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 11:37:18 AM

Đặt ${2^x} = t > 0$, $(1) $ trở thành
$f\left( t \right) = m{t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + m + 4 = 0$            $(2)$

$1)$    Để $(1)$ có nghiệm $ \Rightarrow \left( 2 \right)$ có ít nhất một nghiệm $t > 0$
Trường hợp $m = 0$ : $(2)$ trở thành $ - t + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow t = 4 > 0:m = 0$ lấy được
Trường hợp $m \ne 0$
Nếu ${t_1} = 0$ là nghiệm $ \Rightarrow m = - 4$, thay vào $(2)$ được
$ - 4{t^2} + 7t = 0 \Leftrightarrow {t_1} = 0,{t_2} = \frac{7}{4}$ nên $m = - 4$ lấy được
Nếu $m \ne - 4$ ( và $ \ne 0$) : nghiệm của (2) $ \ne 0$. Để $(2)$ có ít nhất $1$ nghiệm $> 0$ có $2$ trường hợp lấy được:
a) Hoặc ${t_1} < 0 < {t_2}$ điều kiện là :
    $m.f\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow m\left( {m + 4} \right) < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 0$
b) Hoặc $0 < {t_1} < {t_2}$: điều kiện là
    $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 4} \right) \ge 0\\
m.f\left( 0 \right) = m\left( {m + 4} \right) > 0\\
\frac{S}{2} = \frac{{2m + 1}}{{2n}} > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m < - 4,0 < m \le \frac{1}{{12}}$
ở trên $m = 0,m = - 4$ cũng lấy được
vậy $m \le - 4,0 \le m \le \frac{1}{{12}}$

$2)$    Muốn $(1)$ có nghiệm duy nhất thì $(2)$ phải có đúng $1$ nghiệm $>0$.
ở câu $(1)$ những trường hợp $(2)$ có đúng $1$ nghiệm là $m = 0,m = - 4, - 4 < m < 0.$ Riêng trường hợp $0 < {t_1} \le {t_2}$ chỉ lấy được khi $(2)$ có nghiệm kép $>0.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = - 12m + 1 = 0\\
{t_0} = \frac{{2m + 1}}{2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{{12}}$
Vậy $ - 4 \le m \le 0,m = \frac{1}{{12}}$

$3)$    Để $(1)$ có $2$ nghiệm trái dấu nhau tức là:
    ${x_1} < 0 < {x_2}$
    $ \Leftrightarrow {t_1} = {2^{{x_1}}} < {2^0} < {2^{{x_2}}} = {t_2}$
    $ \Rightarrow 0 < {t_1} < 1 < {t_2}$
Vậy $(2)$ phải có $2$ nghiệm thỏa mãn $(3)$. Điều kiện là:
    $\left\{ \begin{array}{l}
m.f\left( 1 \right) < 0\\
m.f\left( 0 \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m.3 < 0\\
m.\left( {m + 4} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 4$

Bài 105006

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105006

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan