Bài 104956

Question

Hai đường cong được gọi là trực giao nhau tại giao điểm của chúng khi và chỉ khi tại đó hai tiếp tuyến tương ứng của hai đường cong vuông góc với nhau. Chứng minh hai đường cong sau đây trực giao nhau tại giao điểm của chúng:
$\begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = a\\y = \frac{b}{x}
\end{array}$ ($a, b$ là các hằng số)

score 0 · Answer 1

- Nếu $b=0$ thì $y=\frac{b}{x} \Leftrightarrow \begin{cases}y=0 \\ x\neq 0 \end{cases} $ thế vào $x^2-y^2=a$ ta được phương trình
$\begin{cases}x^2=a \\ x\neq 0 \end{cases} $ do đó với $\begin{cases}b=0 \\ x\neq 0 \end{cases} $ thì phương trình này vô nghiệm, hai đường cong đã cho không cắt nhau.
- Nếu $\begin{cases}b=0 \\ a>0 \end{cases} $ thì $2$ đường cong đã cho có $2$ giao điểm $A(\sqrt{a} ,0)$ và $A'(-\sqrt{a} ,0)$
Tiếp tuyến của Hypebôn $x^2-y^2=a$ tại $A$ và tại $A'$ song song với $Oy$,vuông góc với đường thẳng $\begin{cases}x\neq 0 \\ y=0 \end{cases} $
-Nếu $b\neq 0$ thì thế $y=\frac{b}{x} $ vào $x^2-y^2=a$ ta được phương trình
$x^2=\frac{b^2}{x^2} =a\Leftrightarrow x^4-ax^2-b^2=0 \Leftrightarrow x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+4b^2} }{2} $ Hai đường cong đã cho có hai giao diểm phân biệt. Giả sử $A(x_0,y_0)$ là một trong hai giao diểm đó.
Viết lại phương trình hypebon đã cho dưới dạng
$y^2=x^2-a\Leftrightarrow y=\epsilon\sqrt{x^2-a} $ với $\epsilon=\pm 1$. Hàm số này có đạo hàm $y'=\epsilon.\frac{x}{\sqrt{x^2-a} } $
Do đó $y(x_0).y'(x_0)=\epsilon\sqrt{x_0^2-a}.\epsilon\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2-a} }=x_0\Rightarrow y'(x_0)=\frac{x_0}{y(x_0)} $
Mặ khác hàm số $y_1=\frac{b}{x} $ có đạo hàm $y'_1(x)=-\frac{b}{x_2} $ nên $y'_1(x_0)=-\frac{b}{x_0^2} $
Tại $A(x_0,y_0)$ ta có
$y'(x_0)y'_1(x_0)=\frac{x_0}{y(x_0)} .\frac{-b}{x_0^2}=\frac{x_0}{y_0}.\frac{-b}{x_0^2}=\frac{-b}{x_0y_0}=\frac{-b}{b} =1 $
Do đó tại $A(x_0,y_0)$các tiếp tuyến với hai đường cong đã cho vuông góc với nhau

Bài 104956

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104956

1 Đáp án

Liên quan

Bài toán tiếp tuyến liên quan đến hệ số góc

Lý thuyết liên quan