Bài 104884

Question

Cho bất phương trình $x^2+2x(cosy+siny)+1 \geq 0$
a) Tìm $x$ để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi $y$
b) Tìm $y$ để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi $x \ge 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/19/2012 10:50:30 AM

a)    Ta có $\left| {\cos y + \sin y} \right| \le \sqrt 2 $
Với $x = 0$ thì $f(x) = {x^2} + 2{\rm{x}}\left( {\cos y + \sin y} \right) + 1 \ge 0,\forall y$
Với $x > 0$ thì $f(x) \ge 0,\forall y$ khi $ - \sqrt 2 \ge - \left( {1 + {x^2}} \right)/2{\rm{x}}$
        $ \Leftrightarrow 0 < x \le \sqrt 2 - 1$ hoặc $x \ge \sqrt 2 + 1$
Với $x < 0$ thì $f(x) \ge 0,\forall y$ khi $ - \sqrt 2 \le - \left( {1 + {x^2}} \right)/2{\rm{x}}$
        $ \Leftrightarrow - \sqrt 2 + 1 \le x < 0$ hoặc $x \le - \sqrt 2 - 1$
Đáp số : $f(x) \ge 0,\forall y$ khi $\left| x \right| \ge \sqrt 2 + 1,\left| x \right| \le \sqrt 2 - 1$

b)    Hoành độ đỉnh của parabol
${x_0} = - \left( {\cos y + \sin y} \right) \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = - \sin 2y$
Nếu $\sin 2y \le 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + k\pi \le y \le \pi + k\pi \left( {k \in Z} \right)$             $(1)$
Nếu $\sin 2y > 0$ thì $f (x)$ có $2$ nghiệm ${x_1},{x_2}$ mà ${x_1}.{x_2} = 1$ suy ra $\cos y > 0,\sin y > 0 \Rightarrow 2m\pi < y < \frac{\pi }{2} + 2m\pi \left( {m \in Z} \right)      (2)$
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có
    $ - \frac{\pi }{2} + 2n\pi \le y \le \left( {2n + 1} \right)\pi \left( {n \in Z} \right)$

Bài 104884

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104884

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan