Bài 104716

Question

Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng đi qua trọng tâm $G$ và tâm đường tròn nội tiếp I vuông
góc với đường phân giác trong của góc $C$, gọi $a, b, c$ là ba cạnh tương ứng của tam giác $ABC. $
Chứng minh rằng : $\frac{{a + b + c}}{3} = \frac{{2ab}}{{a + b}}$

score 0 · Answer 1

Gọi $P, Q$ là các giao điểm $IG$ với $2$ cạnh $CA, CB$ của tam giác.
Từ giả thiết tam giác $CPQ$ cân ở $C$. Gọi $r, p, S$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi, diện tích của tam giác $ABC; {d_a},\,{d_b}$ là khoảng cách từ $G$ đến các cạnh $a, b$. Tính diện tích tam giác $CPQ$ bằng hai cách, ta có:
$d{t_{CPQ}} = d{t_{CIP}} + d{t_{CIQ}} =
\frac{1}{2}r\left( {CP + CQ} \right) = rCP$
$\begin{array}{l}
d{t_{CPQ}} = d{t_{GCP}} + d{t_{GCQ}}\\
= \frac{1}{2}{d_b}.CP + \frac{1}{2}{d_a}.CQ = \frac{1}{2}\left( {{d_a} + {d_b}} \right)CP\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}{h_a} + \frac{1}{3}{h_b}} \right)CP\\
\Rightarrow r.CP = \frac{1}{6}\left( {{h_a} + {h_b}} \right)CP\\
\Rightarrow r = \frac{1}{6}\left( {{h_a} + {h_b}} \right) \Rightarrow \frac{S}{p} =
\frac{1}{6}\left( {\frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b}} \right)\\
\Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{a + b}}{{ab}}} \right)\\
\Rightarrow \frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{p}{3}\\
\Rightarrow \frac{{2ab}}{{a + b}} = \frac{{a + b + c}}{3} dpcm
\end{array}$

Bài 104716

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104716

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan