Bài 104499

Question

Giải các phương trình:
a. $x^{\log_{2}^{2}{x^{2}}-\log_{2}{2x-2}}+\left(x\right) ^{\log_{\left(x+2\right) ^{2}}{4}}=3$
b. $ \log_{3}{\left(\sqrt{ x}+| \sqrt{ x}-1|\right) }=\log_{9}{\left(4 \sqrt{ x}-3+4| \sqrt{ x}-1|\right)}$
c. $\log_{2}^{2}{x}+\left(x-1\right) \log_{2}{x}=6-2x$
d. $\log_{7}{x}=\log_{ 3}{\left(\sqrt{ x}+2\right) }$

score 0 · Answer 1

a. $x^{\log_{2}^{2}{x^{2}}-\log_{2}{2x-2}}+\left(x+2\right) ^{\log_{\left(x+2\right) ^{2}}{4}}=3$
Điều kiện:$\begin{cases}x>0, x\neq 1 \\ x+2>0, x+2 \neq 1 \end{cases} $
Biến đổi phương trình
$x^{\left(2\log_{2}{x}\right) ^{2}-1-\log_{2}{x}-2}+\left(x+2\right) ^{\log_{\left(x+2\right)}{2}}-3=0$
$\Leftrightarrow x^{4\log_{2}^{2}{x} -\log_{2}{x}-3}+2=3$
$\Leftrightarrow x^{4\log_{2}^{2}{x} -\log_{2}{x}-3}=1$
$\Leftrightarrow 4\log_{2}^{2}{x} -\log_{2}{x}-3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log_{2}{x}=1\\\log_{2}{x}=-\frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2^{\frac{-3}{4}}=\frac{1}{ \sqrt[4]{8}}\end{array} \right. $

b. $ \log_{3}{\left(\sqrt{ x}+| \sqrt{ x}-1|\right) }=\log_{9}{\left(4 \sqrt{ x}-3+4| \sqrt{ x}-1|\right)}$
Nếu $\sqrt{ x}>1$ có phương trình
$\log_{3}{\left(2\sqrt{x}-1\right)}=\frac{1}{2}.\log_{3}{\left(8\sqrt{x}-7\right)}$
$\Leftrightarrow \left(2\sqrt{x}-1\right)^{2}=8\sqrt{x}-7 \Leftrightarrow 4x-4 \sqrt{ x}+1=8\sqrt{x}-7$
$\Leftrightarrow 4x-12\sqrt{x}+8=0 \Leftrightarrow x-3 \sqrt{ x}+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{ x} = -1(L)\\\sqrt{ x} = 2\end{array} \right. \Rightarrow x=4 $
Nếu $0 \leq \sqrt{ x}\leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 1$có phương trình
$\log_{3}{\left(\sqrt{x}+1-\sqrt{ x}\right)}=\log_{9}{ \left(\sqrt{ x}-3+4-4 \sqrt{ x}\right)}$
$\Leftrightarrow \log_{3}{1}=\log_{9}{1}$ đúng $\forall x \in [0; 1]$
$\Rightarrow $các nghiệm cần tìm $0\leq x\leq 1 $hay $x=4$

c. $\log_{2}^{2}{x}+\left(x-1\right) \log_{2}{x}=6-2x$
Điều kiện:$x>0$
Xem phương trình$ \log_{2}^{2}{x}+\left(x-1\right) \log_{2}{x}-6+2x=0$
(coi $x-1, 2x-6 $là các tham số).
$\Delta = \left(x-1\right) ^{2}-4 \left(2x-6\right) =x^{2}-2x+1-8x+24=x^{2}-10x+25= \left(x-5\right) ^{2}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log_{2}{x} = \frac{1-x-x+5}{2}=3-x (1)\\ \log_{2}{x} =\frac{1-x+x-5}{2} = -2 (2)\end{array} \right. $
$(1): \log_{2}{x}=3-x $ cho $x=2 $là nghiệm duy nhất, do vế trái đông biến, vế phải nghịch biến.
$(2): \log_{2}{x}=-2 \Leftrightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}$
d. $\log_{7}{x}=\log_{ 3}{\left(\sqrt{ x}+2\right) }$
Điều kiện:$x>0$
Đặt $ \log_{7}{x} =t \Leftrightarrow x=7^{t}, $ được phương trình
$t=\log_{3}{\sqrt{7^{t}}+2} \Leftrightarrow \sqrt{7^{t}}+2=3^{t}$
$\frac{\sqrt{ 7^{t}}}{3^{t}}+2.\frac{1}{3^{t}}=1$
$t=2 $là một nghiệm vì:$\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=1$
Vế trái là một hàm số nghịch biến nên $t=2$ là nghiệm duy nhất.
$t=2 $thì $ \log_{7}{x} \Leftrightarrow x=49$

Bài 104499

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104499

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan