Bài 104442

Question

Cho góc tam diện vuông $Oxyz$. Trên $Ox, Oy, Oz$ lấy lần lượt các điểm $A, B, C$ có $OA = a; OB = b; OC = c (a, b, c > 0)$.
$1$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.
$2$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Hãy tính $OH$ theo $a, b, c.$
$3.$ Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác $ABC$ bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện $OABC.$

score 0 · Answer 1

$1.$
Ta có $AB^2=a^2+b^2$
$BC^2=b^2+c^2$
$CA^2=c^2+a^2$
$\Rightarrow AB^2+BC^2=a^2+2b^2+c^2>CA^2$
$\Rightarrow \Delta ABC$ có góc $B$ nhọn
Chứng minh tương tự ta được $A,C$ nhọn
$2.$
Nối $A$ với trực tâm $H$ cắt $BC$ tại $M$, ta có $AM \bot BC$.
Mặt khác có $OA \bot (OBC)\Rightarrow OA \bot BC$
Do đó : $BC \bot (OAM)\Rightarrow BC \bot OH\in (OAM)$.
Chứng minh tương tự ta được : $AB \bot OH$.Do đó $OH \bot (ABC)$.
Trong tam giác vuông $OBC$ có $OM \bot BC$ nên
$\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$
Trong tam giác vuông $OAM$ có $AH$ vuông góc với cạnh huyền $AM$ nên :
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}$
Vậy $OH=\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$
$3.$ Ta có
$V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\Delta OBC}.OA=\frac{1}{6}abc$
Mặt khác $V_{OABC}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}.OH$
$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{3.V_{OABC}}{OH}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
$\Rightarrow S_{\Delta ABC}^2=\frac{1}{4}a^2b^2+\frac{2}{4}b^2c^2+\frac{1}{4}c^2a^2=S_{\Delta OAB}^2+S_{\Delta OBC}^2+S_{\Delta OCA}^2 (dpcm)$

Bài 104442

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104442

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan