Bài 104407

Question

Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/16/2012 3:19:35 PM

Ta có $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{1 + x + \sqrt {1 + {x^2}} }}}=$$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{1 + x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - \left( {1 + {x^2}} \right)}}dx = } \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{1 + x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}dx = } $$\frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)dx - } \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}dx} $
${I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)dx = \frac{1}{2}\left[ {\ln \left| x \right| + x} \right]|_{ - 1}^1 = 1} $
${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x}}dx} $. Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow 2tdt = 2xdx$
Đổi cận $ \begin{cases}
x = 1 \\
x = - 1
\end{cases} $ $\Rightarrow \begin{cases}
t = \sqrt 2 \\
t = \sqrt 2
\end{cases}$
Suy ra $I_{2}=$$\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 2 } {\frac{{{t^2}dt}}{{2\left( {{t^2} - 1} \right)}}} = 0$

Vậy $I=I_1-I_2=\boxed{1}$

Bài 104407

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104407

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan