Bài 104357

Question

$1$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn :
$\cos\frac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right) = 1$
$2.$ Các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn:
$\sin A + \sin B + \sin C – 2\sin\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = 2\sin \frac{C}{2}$
Chứng minh rằng : $C = {120^0}$

score 0 · Answer 1

$1.$ $c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right) = 1$
$\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right) = 2k\pi,k\in Z$
$\Leftrightarrow \sqrt{9x^2-16x-80}=3x-8k$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x-8k\geq 0 \\ 9x^2-16x-80=(3x-8k)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x-8k\geq 0\\ 9x=12k+4+\frac{49}{3k-1} \end{cases}$
$\Rightarrow 3k-1$ là ước nguyên của $49 \Rightarrow 3k-1=\pm 1,\pm 7,\pm 49.$
Ta có bảng sau :

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm nguyên :$x=-3;x=-21.$
$2.$ Dễ chứng minh được $SinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$.Do đó giả thiết
$\Leftrightarrow 4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}$
$=2cos\frac{A+B}{2}=2cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}$
$\Leftrightarrow cos\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{C}{2}= 60^0\Leftrightarrow C=120^0$

Bài 104357

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104357

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan