Bài 104293

Question

Tìm tập giá trị của hàm số:

$f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4}$

score 0 · Answer 1

Hàm số xác định

$\forall x$ và ta có:

$f'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + 3} }} - \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 3} }}$
Nếu

$f’(x) = 0$ thì

$(x + 1)\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 3} = (x - 1)\sqrt {{{(x + 1)}^2} + 3} \,\,\,\,(3)$

$\Rightarrow {(x + 1)^2}\left( {{{(x - 1)}^2} + 3} \right) = {(x - 1)^2}\left( {{{(x + 1)}^2} + 3} \right)$

$\Rightarrow 3{(x + 1)^2} = 3{(x - 1)^2} \Rightarrow x = 0$
Thế

$x = 0$ vào (

$3$ )

$\Rightarrow \sqrt 4 = - \sqrt 4$ (vô lý). Do đó

$f’(x)$ vô nghiệm.
Mà

$f’(x)$ là hàm số liên tục

$\forall x$

$\Rightarrow f'(x)$ không đổi dấu trên toàn trục số (do

$f’(x)$ vô nghiệm). Lại có

$f’(0) > 0$

$\Rightarrow f’(x) > 0 \forall x$
Xét :

$\begin{array}{l} f(x) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \frac{{4x}}{{\left| x \right|\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} } \right)}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{imf}}(x)}\limits_{x \to + \infty } = 2\\ \Rightarrow \mathop {{\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{imf}}(x)}\limits_{x \to - \infty } =- 2 \end{array}$
Vậy tập giá trị của hàm số là:

$-2 < f(x) < 2.$

Bài 104293

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104293

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan