Bài 104284

Question

Giải hệ : $\begin{cases}\sin x+\cos x=\frac{1}{2}+\sin y-\cos y \\ 2\sin 2x=\frac{3}{2}+\sin 2y \end{cases}$

score 1 · Answer 1

Đặt :    $\begin{cases}u=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4}) \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}] \\ v=\sin y-\cos y=\sqrt{2}\sin (y-\frac{\pi}{4} \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}] \end{cases}$
Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{2}+v \\ 2(u^2-1)=\frac{3}{2}+(1-v^2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{2}+v \\ 2u^2+v^2=\frac{9}{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{2}+v \\ 2(\frac{1}{4}+v+v^2)+v^2=\frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1}{2}+v \\ 3v^2+2v-4=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}u=\frac{1+2\sqrt{13}}{6} \\ v=\frac{-1+\sqrt{13}}{3} \end{cases}\\\begin{cases}u=\frac{1-2\sqrt{13}}{6} \\ v=\frac{-1-\sqrt{13}}{6} \end{cases}   (L) \end{array} \right.     \Leftrightarrow \begin{cases}u=\frac{1+2\sqrt{13}}{6} \\ v=\frac{-1+\sqrt{13}}{3} \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin (x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1+2\sqrt{13}}{6\sqrt{2}}=\sin \varphi\\\sin (y-\frac{\pi}{4}) = \frac{-1+\sqrt{13}}{3\sqrt{2}}=\sin \psi\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^k \varphi+k\pi \\ y=\frac{\pi}{4}+(-1)^l \psi+l\pi \end{cases}            (k,l \in Z)$

Bài 104284

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104284

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan