Bài 104174

Question

Tìm giới hạn của các dãy số \((u_{n})\) với:
a) \(u_{n}=\frac{n}{2^{n}}\)
b) \(u_{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+2}\).

score 0 · Answer 1

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq \frac{3}{4} \forall n>1\).
Với \(n=2 \frac{u_{3}}{u_{2}}=\frac{3}{2^{3}}:\frac{2}{2^{2}}=\frac{3}{4}\).
Giả sử với \(n=k\) ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_{k}}\leq \frac{3}{4}\).
Xét \(n=k+1\), tỉ số \(\frac{u_{k+2}}{u_{k+1}}=\frac{k+2}{2^{k+2}}.\frac{2^{k+1}}{k+1}=\frac{k+2}{2(k+1)}\).
\(\frac{u_{k+2}}{u_{k+1}}-\frac{u_{k+1}}{u_{k}}=\frac{u_{k}.u_{k+2}-u_{k+1}}{u_{k}.u_{k+1}}=\frac{-1}{2^{2(k+1)}.u_{k}u_{k+1}}<0\)
(vì \(u_{n}>0 \forall n\)) suy ra \(\frac{u_{k+2}}{u_{k+1}}\leq \frac{u_{k+1}}{u_{k}}\leq \frac{3}{4}\).
Vậy với mọi \(n\in N\)*, \(n>1\) ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq \frac{3}{4}\).
Từ kết quả trên ta có: \(|u_{n}|=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}.\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}...\frac{u_{3}}{u_{2}}.\frac{u_{2}}{u_{1}}\leq (\frac{3}{4})^{n-3}\)
Vì \(\lim (\frac{3}{4})^{n-3}=0\), do đó \(\lim u_{n}=\lim \frac{n}{2^{n}}=0\).
b) \(u_{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+2}=\frac{(n+1)-n}{(n+2)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}<\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n}\)
\(|u_{n}|<\frac{1}{n}, \lim \frac{1}{n}=0\), do đó \(\lim u_{n}=0\).

Bài 104174

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104174

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan