Bài 104111

Question

Giải các phương trình sau:
$a) log_4{2log_3(1+log_2(1+3log_2x))} = \frac{1}{2}$.
$b) log_2(x(x-1)) = 1 $ .
$c) log_2x + log_2(x -1) = 1$.
$d) lg(x^{2} – 6x +7) = lg(x – 3)$ .
$ e)\frac{log_2x}{log_42x}=\frac{log_84x}{log_{16}8x} $.
$g)\frac{1}{log_6(x+3)}+\frac{4}{log_2(3+x)} =1$.

Học Tại Nhà · Answer 1 · 5/18/2012 3:37:52 PM

$a) $Điều kiện: $ x> 0 $
Ta có:
$ log_4{(2log_3(1+log_2(1+3log_2x)))} = \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow 2log_3(1+log_2(1+3log_2x))= {4^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 4 = 2$
$ \Leftrightarrow log_3(1+log_2(1+3log_2x))= 1$
$ \Leftrightarrow 1+log_2(1+3log_2x)= 3^1 = 3$
$ \Leftrightarrow log_2(1+3log_2x)= 2 \Leftrightarrow 1+3log_2x= 2^2 = 4 $
$ \Leftrightarrow 3^{log_{2}x}=3\Leftrightarrow log_2x=1\Leftrightarrow x=2$
Vậy nghiệm của phương trình là x $= 2$.

$b)$  Điều kiện: $ x(x-1) > 0$ $ \Leftrightarrow x<0$ hoặc $x>1$
Với điều kiện trên ta có:
$ log_2(x(x-1)) = 1$
$ \Leftrightarrow x(x – 1) = 2^{1} = 2 \Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0
\Leftrightarrow (x+1)(x-2) = 0. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x = 2}\\
{x = -1}
\end{array} \right. $ thỏa mãn đk ${x < 0}$ hoặc $ { x > 1}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là {-1,2}.

$c)$ Điều kiện:$\left\{ \begin{array}{l}
{x > 0}\\
{x - 1 > 0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x > 1}.$
Với điều kiện trên ta có:
$log_2x + log_2(x -1) = 1$
$ \Leftrightarrow log_2x(x- 1) = 1 \Leftrightarrow x^2 – x = 2^1 = 2
\Leftrightarrow x^2 – x - 2 = 0 $
$ \Leftrightarrow $$\begin{array}{l}
(x+1)(x-2)=0\\

\end{array}$ $ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
{x = - 1} { }\\
{x = 2 }{ }
\end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện x $> 1$ ta có nghiệm của phương trình là x$=2.$

$d)$ Điều kiện:$\left\{ \begin{array}{l}
{x - 3 > 0}\\
{ x^2 – 6x +7  > 0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x > 3}.$
$lg(x^2 – 6x +7) = lg(x – 3)$
$ \Leftrightarrow x^2 – 6x + 7 = x – 3
\Leftrightarrow x^2 – 7x + 10 = 0 $
$ \Leftrightarrow (x-2)(x-5) = 0   \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
{x = 2} { }\\
{x = 5 }{ }
\end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện x $> 3$ ta có nghiệm của phương trình là x$=5.$

$e)$
$\frac{{{lo}{{g}_{2}}{x}}}{{{lo}{{g}_{4}}{2x}}}{ = }\frac{{{lo}{{g}_{8}}{4x}}}{{{lo}{{g}_{{16}}}{8x}}}     (*)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
{x > 0}\\
{lo}{{g}_{4}}{2x \neq 0}\\
{lo}{{g}_{{16}}}{8x \neq 0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x > 0}\\
{2x }{\neq 1}\\
{8x \neq 1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x > 0}\\
{x \neq }\frac{{1}}{{2}}\\
{x \neq }\frac{{1}}{{8}}
\end{array} \right.$
Đặt t = ${lo}{{g}_{2}}{x}$
${lo}{{g}_{4}}{2x}$= ${lo}{{g}_{{{2}^{2}}}}{2x = }\frac{{1}}{{2}}{(lo}{{g}_{2}}{2 + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{2}}{(1 + t)}$
${lo}{{g}_{8}}{4x}$= ${lo}{{g}_{{{2}^{3}}}}\left( {{{2}^{2}}{.x}} \right){ = }\frac{{1}}{{3}}{(lo}{{g}_{2}}{{2}^{2}}{ + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{3}}{(2 + t)}$
${lo}{{g}_{{16}}}{8x}$= ${lo}{{g}_{{{2}^{4}}}}\left( {{{2}^{3}}{.x}} \right){ = }\frac{{1}}{{4}}{(lo}{{g}_{2}}{{2}^{3}}{ + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{4}}{(3 + t)}$
$(*) \Leftrightarrow \frac{{t}}{{\frac{{1}}{{2}}{(1 + t)}}}{ = }\frac{{\frac{{1}}{{3}}{(2 + t)}}}{{\frac{{1}}{{4}}{(3 + t)}}} \Leftrightarrow \frac{{{2t}}}{{{1 + t}}}{ = }\frac{{{4(2 + t)}}}{{{3(3 + t)}}}$
$ \Leftrightarrow $$\begin{array}{l}
{{t}^{2}}{ + 3t - 4 = 0}\\
{(a + b + c = 0)}
\end{array}$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 4
\end{array} \right.$
•    $t = 1 \Leftrightarrow log_2x = 1 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn điều kiện)
•    $t = -4 \Leftrightarrow log_2x = -4 \Leftrightarrow $x = $2^{-4}$ = $\frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {2, $\frac{1}{{16}}$}.

$g) \frac{{1}}{{{lo}{{g}_{6}}{(x + 3)}}}{ + }\frac{{4}}{{{lo}{{g}_{2}}{(3 + x)}}}{ = 1}             (1)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
{4 - x > 0}\\
{3 + x > 0}\\
{lo}{{g}_{6}}{(3 + x) \neq 0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{ - 3 < x < 4}\\
{3 + x \neq 1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{ - 3 < x < 4}\\
{x \neq - 2}
\end{array} \right.$ (*).
$(1) \Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 + }\frac{{{2lo}{{g}_{{{2}^{{ - 2}}}}}{(4 -
x)}}}{{{lo}{{g}_{2}}{(3 + x)}}}{ = 1}$
       $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 - lo}{{g}_{{3 + x}}}{2}{.lo}{{g}_{2}}{(4 - x) = 1}\\
\Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 - lo}{{g}_{{3 + x}}}{(4 - x) = 1}\\
\Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}\frac{{6}}{{{4 - x}}}{ = 1} \Leftrightarrow \frac{{6}}{{{4 - x}}}{ = (3 + x}{{)}^{1}}
\Leftrightarrow {6 = (4 - x)(3 + x)}
\end{array}$
       $ \Leftrightarrow {{x}^{2}}{ - x - 6 = 0} \Leftrightarrow $$\left[
\begin{array}{l}
{x = 3 }{ }\\
{x = - 2 }
\end{array} \right.$.
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là x=$3$.

Bài 104111

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104111

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan