Bài 104111

Question

Giải các phương trình sau:

$a) log_4{2log_3(1+log_2(1+3log_2x))} = \frac{1}{2}$ .

$b) log_2(x(x-1)) = 1$ .

$c) log_2x + log_2(x -1) = 1$ .

$d) lg(x^{2} – 6x +7) = lg(x – 3)$ .

$e)\frac{log_2x}{log_42x}=\frac{log_84x}{log_{16}8x}$ .

$g)\frac{1}{log_6(x+3)}+\frac{4}{log_2(3+x)} =1$ .

Học Tại Nhà · Answer 1 · 5/18/2012 3:37:52 PM

$a)$ Điều kiện:

$x> 0$
Ta có:

$log_4{(2log_3(1+log_2(1+3log_2x)))} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2log_3(1+log_2(1+3log_2x))= {4^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 4 = 2$

$\Leftrightarrow log_3(1+log_2(1+3log_2x))= 1$

$\Leftrightarrow 1+log_2(1+3log_2x)= 3^1 = 3$

$\Leftrightarrow log_2(1+3log_2x)= 2 \Leftrightarrow 1+3log_2x= 2^2 = 4$

$\Leftrightarrow 3^{log_{2}x}=3\Leftrightarrow log_2x=1\Leftrightarrow x=2$
Vậy nghiệm của phương trình là x

$= 2$ .

$b)$ Điều kiện:

$x(x-1) > 0$

$\Leftrightarrow x<0$ hoặc

$x>1$
Với điều kiện trên ta có:

$log_2(x(x-1)) = 1$

$\Leftrightarrow x(x – 1) = 2^{1} = 2 \Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2) = 0.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x = 2}\\ {x = -1} \end{array} \right.$ thỏa mãn đk

${x < 0}$ hoặc

${ x > 1}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là {-1,2}.

$c)$ Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} {x > 0}\\ {x - 1 > 0} \end{array} \right. \Leftrightarrow {x > 1}.$
Với điều kiện trên ta có:

$log_2x + log_2(x -1) = 1$

$\Leftrightarrow log_2x(x- 1) = 1 \Leftrightarrow x^2 – x = 2^1 = 2 \Leftrightarrow x^2 – x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow$

$\begin{array}{l} (x+1)(x-2)=0\\ \end{array}$

$\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} {x = - 1} { }\\ {x = 2 }{ } \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện x

$> 1$ ta có nghiệm của phương trình là x

$=2.$

$d)$ Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} {x - 3 > 0}\\ { x^2 – 6x +7 > 0} \end{array} \right. \Leftrightarrow {x > 3}.$

$lg(x^2 – 6x +7) = lg(x – 3)$

$\Leftrightarrow x^2 – 6x + 7 = x – 3 \Leftrightarrow x^2 – 7x + 10 = 0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x-5) = 0 \Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} {x = 2} { }\\ {x = 5 }{ } \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện x

$> 3$ ta có nghiệm của phương trình là x

$=5.$

$e)$

$\frac{{{lo}{{g}_{2}}{x}}}{{{lo}{{g}_{4}}{2x}}}{ = }\frac{{{lo}{{g}_{8}}{4x}}}{{{lo}{{g}_{{16}}}{8x}}} (*)$
Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} {x > 0}\\ {lo}{{g}_{4}}{2x \neq 0}\\ {lo}{{g}_{{16}}}{8x \neq 0} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x > 0}\\ {2x }{\neq 1}\\ {8x \neq 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x > 0}\\ {x \neq }\frac{{1}}{{2}}\\ {x \neq }\frac{{1}}{{8}} \end{array} \right.$
Đặt t =

${lo}{{g}_{2}}{x}$

${lo}{{g}_{4}}{2x}$ =

${lo}{{g}_{{{2}^{2}}}}{2x = }\frac{{1}}{{2}}{(lo}{{g}_{2}}{2 + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{2}}{(1 + t)}$

${lo}{{g}_{8}}{4x}$ =

${lo}{{g}_{{{2}^{3}}}}\left( {{{2}^{2}}{.x}} \right){ = }\frac{{1}}{{3}}{(lo}{{g}_{2}}{{2}^{2}}{ + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{3}}{(2 + t)}$

${lo}{{g}_{{16}}}{8x}$ =

${lo}{{g}_{{{2}^{4}}}}\left( {{{2}^{3}}{.x}} \right){ = }\frac{{1}}{{4}}{(lo}{{g}_{2}}{{2}^{3}}{ + lo}{{g}_{2}}{x) = }\frac{{1}}{{4}}{(3 + t)}$

$(*) \Leftrightarrow \frac{{t}}{{\frac{{1}}{{2}}{(1 + t)}}}{ = }\frac{{\frac{{1}}{{3}}{(2 + t)}}}{{\frac{{1}}{{4}}{(3 + t)}}} \Leftrightarrow \frac{{{2t}}}{{{1 + t}}}{ = }\frac{{{4(2 + t)}}}{{{3(3 + t)}}}$

$\Leftrightarrow$

$\begin{array}{l} {{t}^{2}}{ + 3t - 4 = 0}\\ {(a + b + c = 0)} \end{array}$

$\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 4 \end{array} \right.$
•

$t = 1 \Leftrightarrow log_2x = 1 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn điều kiện)
•

$t = -4 \Leftrightarrow log_2x = -4 \Leftrightarrow$ x =

$2^{-4}$ =

$\frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {2,

$\frac{1}{{16}}$ }.

$g) \frac{{1}}{{{lo}{{g}_{6}}{(x + 3)}}}{ + }\frac{{4}}{{{lo}{{g}_{2}}{(3 + x)}}}{ = 1} (1)$
Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} {4 - x > 0}\\ {3 + x > 0}\\ {lo}{{g}_{6}}{(3 + x) \neq 0} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} { - 3 < x < 4}\\ {3 + x \neq 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} { - 3 < x < 4}\\ {x \neq - 2} \end{array} \right.$ (*).

$(1) \Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 + }\frac{{{2lo}{{g}_{{{2}^{{ - 2}}}}}{(4 - x)}}}{{{lo}{{g}_{2}}{(3 + x)}}}{ = 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 - lo}{{g}_{{3 + x}}}{2}{.lo}{{g}_{2}}{(4 - x) = 1}\\ \Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}{6 - lo}{{g}_{{3 + x}}}{(4 - x) = 1}\\ \Leftrightarrow {lo}{{g}_{{3 + x}}}\frac{{6}}{{{4 - x}}}{ = 1} \Leftrightarrow \frac{{6}}{{{4 - x}}}{ = (3 + x}{{)}^{1}} \Leftrightarrow {6 = (4 - x)(3 + x)} \end{array}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{ - x - 6 = 0} \Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} {x = 3 }{ }\\ {x = - 2 } \end{array} \right.$ .
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là x=

$3$ .

Bài 104111

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104111

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan