Bài 104112

Question

Xác định cấp số nhân \((u_{n})\) thỏa mãn các hệ thức: \(\begin{cases}u_{1}+u_{6}=244\\ u_{3}+u_{4}=36. \end{cases}\)

score 0 · Answer 1

\(u_{1}+u_{6}=u_{1}+u_{1}q^{5}=u_{1}(1+q)^{5}=244\)
\(u_{3}+u_{4}=u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}=u_{1}(q^{2}+q^{3})=36\)
\(\Rightarrow \frac{1+q^{5}}{q^{2}(1+q)}=\frac{244}{36}=\frac{61}{9}\Rightarrow \frac{1-q+q^{2}-q^{3}+q^{4}}{q^{2}}=\frac{61}{9}\)
\(\Rightarrow q^{2}+\frac{1}{q^{2}}+1-(\frac{1}{q}+q)=\frac{61}{9}\)
Đặt \(q+\frac{1}{q}=t\) với \(|t|\geq 2\), ta được \(\frac{1}{q^{2}}+q^{2}=t^{2}-2\) và có phương trình:
\(t^{2}-t-\frac{70}{9}=0\Rightarrow t_{1}=\frac{10}{3},t_{2}=-\frac{7}{3}\).
Với \(q+\frac{1}{q}=\frac{10}{3}\) suy ra \(q=3\) hoặc \(q=\frac{1}{3}\).
Nếu công bội \(q=\frac{1}{3}\), số hạng đầu \(u_{1}=\frac{244}{1+(\frac{1}{3})^{5}}=243\), ta có cấp số nhân: \(\div 243;81;27;...\)
Với \(q+\frac{1}{q}=-\frac{7}{3}\) suy ra \(q=\frac{\sqrt{13}-7}{6}\) hoặc\(q=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}\) .
Nếu \(q=\frac{\sqrt{13}-7}{6}\) thì số hạng đầu \(u_{1}=\frac{36}{q^{2}(1+q)}=\frac{324(\sqrt{13}+1)}{31-7\sqrt{13}}\).
Nếu \(q=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}\)thì số hạng đầu \(u_{1}=\frac{324(1-\sqrt{13})}{31+7\sqrt{13}}\).

Bài 104112

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104112

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan