1. Định nghĩa:
ĐN: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là: (un) là cấp số nhân ⇔∀n⩾2,un=un−1.q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ 1: Dãy số (un) với un=2n là một cấp số nhân với số hạng đầu u1=2và công bội q=2.
2. Tính chất
Định lí 1: Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương cua rmỗi số hạng(trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u2k=uk−1.uk+1
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un)với công bội q>0. Biết u1=1,u3=3, hãy tìm u4.
Giải:
Theo định lí 1, ta có
u22=u1.u3
u23=u2.u4
Từ (1), do u2>0( Vì u1=1>0 và q>0), suy ra u2=√u1.u3. Từ đây và (2) ta được
u4=u23√u1.u3=32√1.3=3√3
3. Số hạng tổng quát
Định lí 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q≠0 thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức
un=u1.qn−1
4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn=u1+u2+...+un)
Nếu q=1thì un=u1 với mọi n⩾1. Do đó, trong trường hợp này ta có
Sn=nu1
Khi q≠1 ta có kết quả sau:
Định lý 3: Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q≠1 thì Sn được tính theo công thức
Sn=u1(1−qn)1−q
Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un) có u3=24và u4=48. Hãy tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số đó.
Giải: Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có: q=4824=2
Do đó, theo định lí 2, ta được : 24=u3=u1.22. Suy ra u1=6. Vì thế, theo định lí 3, ta được : S5=6.(1−25)1−2=186
|