Bài 104108

Question

Giải các phương trình sau:
$a) {2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4$
$b) 3{2^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25.12{8^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}$
$ c) {5^{x - 1}} + {5^{3 - x}} = 26$
$d)$ $3.{4^x} - 2.{6^x} = {9^x}$
$e) {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {7 - \sqrt {48} } } \right)^x} = 14$
$g) 2^x + 3^x = 5^x$

score 0 · Answer 1

$a$) Ta có:
${2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} -
3x + 2 = 2$
                   $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x - 3) = 0$
                   $ \Leftrightarrow x = 0   \vee   x = 3$
$b) 3{2^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25.12{8^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x \neq    7\\
x \neq    3
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow {2^{5\left( {\frac{{x + 5}}{{x - 7}}} \right)}} = \frac{1}{4}.{2^{7\left(
{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}} \right)}} \Leftrightarrow {2^{5 + 7\left( {\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}
\right)}} = {2^{7\left( {\frac{{x + 17}}{{x - 3}}} \right)}}$
$ \Leftrightarrow 2 + 5\left( {\frac{{x + 5}}{{x - 7}}} \right) = 7\left( {\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}
\right)$
$ \Leftrightarrow 2(x-7)(x-3) + 5(x+5)(x-3) = 7(x+17)(x-7)$
$ \Leftrightarrow 2(x^2 – 10x +21) +5(x^2 + 2x – 15) = 7(x^2 + 10x – 119)$
$ \Leftrightarrow x = 10$
$c) {5^{x - 1}} + {5^{3 - x}} = 26$$ \Leftrightarrow $$\frac{{{5^x}}}{5} +
\frac{{125}}{{{5^x}}} = 26 (*)$
Đặt $t = 5x > 0$
$(*) \Leftrightarrow \frac{t}{5} + \frac{{125}}{t} = 26 \Leftrightarrow {t^2} - 130t + 625 = 0$
       $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 125 > 0\\
t = 5 > 0
\end{array} \right.$
•    $t = 125 \Leftrightarrow {5^x} = {5^3} \Leftrightarrow x = 3$
•    $t = 5 \Leftrightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1$
$d)$
$3.4^x-2.6^x=9^x\Leftrightarrow 3-2(\frac{6}{4})^x=(\frac{9}{4})^x\Leftrightarrow 3-2(\frac{3}{2})^x=(\frac{3}{2})^{2x}   (*)$
Đặt: $ t=(\frac{3}{2})^x(t>0)$
$(*) \Leftrightarrow 3-2t = t2 \Leftrightarrow $ $\begin{array}{l}
{t^2} + 2t - 3 = 0\\
(a + b + c = 0)
\end{array}$ $ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-3 (loạ i) \end{array} \right.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow $${\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}$= ${\left( {\frac{3}{2}}
\right)^0}$$ \Leftrightarrow x=0$
$e) {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {7 - \sqrt {48} } } \right)^x} = 14 (*)$
Ta có: $\sqrt {7 + \sqrt {48} } $.$\sqrt {7 - \sqrt {48} } $=1$ \Leftrightarrow $$\sqrt {7 - \sqrt
{48} } $=$\frac{1}{{\sqrt {7 + \sqrt {48} } }}$
Đặt: t = ${\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^x}   (t>0) $ $\Rightarrow (\sqrt{7-\sqrt{48}})^x=1/t$
$(1) \Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=14 \Leftrightarrow t^2 -14t +1 =0 \Leftrightarrow $
$\left[ \begin{array}{l}
t = 7 + \sqrt {48} > 0\\
t = 7 - \sqrt {48} > 0
\end{array} \right.$
•    $t = 7 + \sqrt {48} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^2}$, ta được:
${\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^x}$=${\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^2}$$
\Leftrightarrow $x = 2
•    $t = 7 - \sqrt {48} = \frac{1}{{7 + \sqrt {48} }} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {7 + \sqrt
{48} } } \right)}^2}}} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^{ - 2}}$
Ta được: ${\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } } \right)^x}={\left( {\sqrt {7 + \sqrt {48} } }
\right)^{ - 2}} \Leftrightarrow x = -2$
Vậy phương trình ($1$) có $2$ nghiệm: $x = \pm 2$
$g) 2^x + 3^x = 5^x$$ \Leftrightarrow (\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x=1      (*)$
Ta nhận thấy $(*)$ có $1$ nghiệm $x = 1.$
Thật vậy: $\Leftrightarrow (\frac{2}{5})^1+(\frac{3}{5})^1=1$
Ta chứng minh $x = 1$ duy nhất.
Vì cơ số: $a = \frac{2}{5}$ với $0 < a<1$
$ \Rightarrow $Vế trái là hàm số nghịch biến
    Vế phải là hằng số
Nên nghiệm $x = 1$ duy nhất.

Bài 104108

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104108

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Lý thuyết liên quan