Bài 104086

Question

Với giá trị nào của $\alpha$ thì hệ sau có nghiệm, tìm các nghiệm đó:
$\begin{cases}x-y=\alpha \\ 2(\cos 2x+\cos2y)=1+4\cos^2(x-y) \end{cases}$

Học Tại Nhà · Answer 1 · 5/18/2012 3:45:03 PM

+) Điều kiện cần:
Áp dụng công thức: $\cos 2x+\cos2y=2\cos(x+y)\cos(x-y)$
ta có thể viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: $4\cos(x-y)\cos(x+y)=1+4\cos^2(x-y)$     (*)
So sánh vế trái và vế phải của (*) ta có:
$$|4\cos (x-y)\cos(x+y)|\leq 4|\cos\alpha|$$
Mặt khác từ bất đẳng thức $(1\pm2\cos\alpha)^2\geq 0$ suy ra:
$4|\cos\alpha|\leq 1+4\cos^2\alpha$. Ngoài ra dấu "=" chỉ xảy ra khi $2|\cos\alpha|=1$
Do đó hệ gồm (*) và $x-y=\alpha$ chỉ có thể có nghiệm với điều kiện cần là: $|\cos\alpha|=\frac{1}{2}$
+) Điều kiện đủ:
Với $|\cos\alpha|=\frac{1}{2}$, ta xét hai khả năng:
*$\cos\alpha=\frac{1}{2}$. Từ (*) ta tìm được $\cos(x+y)=1$ tức là $x+y=k2\pi$

Giải hệ $\begin{cases}x-y=\alpha \\ x+y=k2\pi \end{cases}$ được $\left\{ \begin{array}{l} x_1=\frac{\alpha}{2}+k\pi \\ y_1=-\frac{\alpha}{2}+k\pi \end{array} \right.$

*$\cos\alpha=-\frac{1}{2}$
Bằng cách giải tương tự ta tìm được:$ \left\{ \begin{array}{l} {x_2=\frac{\alpha}{2}+(k+\frac{1}{2})\pi }\\ y_2=-\frac{\alpha}{2}+(k+\frac{1}{2})\pi  \end{array} \right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $|\cos\alpha|=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}  { \alpha = \frac{\pi}{6} + k \pi} \\
\alpha = \frac{-\pi}{6} + k \pi  \end{array} \right.$

Bài 104086

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104086

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan