Bài 103981

Question

Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 - \left| x \right|}}$
$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$
$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$

score 0 · Answer 1

$a)$ $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ có miền xác định : $D = R$
    $f( - x) = - \frac{x}{{1 + \left| x \right|}} = -f(x) \Rightarrow f(x)$ lẻ.
Ta chỉ tìm miền giá trị ứng với $x\in [0, +\infty $] rồi sau đó lấy đối xứng qua $Oy$ : $\forall y \in
f((0, + \infty ));\exists x \in (0, + \infty ):y = \frac{x}{{1 + x}}$
$ \Leftrightarrow (1 - y)x = y \Rightarrow \frac{y}{{1 - y}} \ge 0 \Leftrightarrow y \in
{\rm{[}}0,1)$
Lấy đối xứng qua $Oy$, miền giá trị $T = (-1,1)$
Tương tự $g(x)$ cũng là hàm số lẻ
$\Rightarrow $ Miền xác định $D = R\left\{ {\pm 1} \right\}$
Miền giá trị : $T = R$
$b) (g_0f) = g[f(x)] =$ $\frac{{f\left( x \right)}}{{1 - \left| {f(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 - \left| {\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 - \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}}} = x$
$(f_0g)(x) = f[g(x)] =$ $\frac{{g\left( x \right)}}{{1 + \left| {g(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 -
\left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 - \left| x \right|}}} \right|}}$        ($*)$
•   $ x \geq 0 : (*) \Leftrightarrow (f0g)(x) =$ $\frac{{\frac{x}{{1 - x}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 - x}}}
\right|}}$
*$ 0 \leq x < 1 : (f_0g)(x) = x$
* $x > 1$ : $\left| {\frac{x}{{1 - x}}} \right|$ = $ - \frac{x}{{1 - x}}$ $\Rightarrow (f0g)(x) = \frac{x}{{1 - 2x}}$
•   $ x < 0 : (*) \Leftrightarrow (f_0g)(x) =$ $\frac{{\frac{x}{{1 - \left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1
- \left| x \right|}}} \right|}}$
* $-1 < x < 0 :$ $\left| {\frac{x}{{1 + x}}} \right|$= $ - \frac{x}{{1 + x}}$    $\Rightarrow (f_0g)(x) = 0$
* $x < -1 : $$\left| {\frac{x}{{1 + x}}} \right|$= $\frac{x}{{1 + x}}$    $  \Rightarrow (f_0g)(x) = \frac{x}{{1 + 2x}}$
Tóm lại : $(f_0g)(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{1 - 2\left| x \right|}}x < - 1 \vee x > 1\\
x{\rm{- 1 < x < 1}}
\end{array} \right.$

Bài 103981

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103981

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan