Bài 103827

Question

Cho tam giác

$ABC$ , các điểm

$A_1,A_2$ thuộc cạnh

$BC$ ;

$B_1,B_2$ thuộc cạnh

$CA$ ;

$C_1,C_2$ thuộc cạnh

$AB$ . Biết rằng

$B_1,B_2$ ,

$C_1,C_2$ thuộc một đường tròn;

$C_1,C_2$ ,

$A_1,A_2$ thuộc một đường tròn;

$A_1,A_2$ ,

$B_1,B_2$ thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng sáu điểm

$A_1,A_2$ ,

$B_1,B_2$ ,

$C_1,C_2$ cùng thuộc một đường tròn.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 4:53:29 PM

2

Giả sử

$\left( {{C_A}} \right)$ là đường tròn đi qua bốn điểm

${B_1},{B_2},{C_1},{C_2}$ ;

$\left( {{C_B}} \right)$ là đường tròn đi qua bốn điểm

${C_1},{C_2},{A_1},{A_2}$ ;

$\left( {{C_C}} \right)$ là đường tròn đi qua bốn điểm

${A_1},{A_2},{B_1},{B_2}$ .
Ta thấy:

$BC$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_B}} \right),\left( {{C_C}} \right)$ (Vì có hai điểm chung là

$A_1,A_2$ )

$CA$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_C}} \right),\left( {{C_A}} \right)$ (Vì có hai điểm chung là

$B_1,B_2$ )

$AB$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_A}} \right),\left( {{C_B}} \right)$ (Vì có hai điểm chung là

$C_1,C_2$ )
Nếu

$\left( {{C_A}} \right),\left( {{C_B}} \right),\left( {{C_C}} \right)$ đôi một phân biệt thì

$BC, CA, AB$ hoặc đồng quy hoặc đôi một song song, mâu thuẫn.
Vậy: hai trong ba đường tròn

$\left( {{C_A}} \right),\left( {{C_B}} \right),\left( {{C_C}} \right)$ trùng nhau.
Suy ra: sáu điểm

${A_1},{A_2},{B_1},{B_2},{C_1},{C_2}$ cùng thuộc một đường tròn.

1 Đáp án