Bài 103803

Question

Cho tam giác $ABC$, nội tiếp đường tròn $(O;R)$. $M$ là một điểm không nằm trên $(O); MA, MB, MC$ cắt $(O)$ tại $A',B',C'$. Chứng minh rằng:
$\frac{MA.BC}{B'C'} = \frac{MB.CA}{C'A'} = \frac{MC.AB}{A'B'} = \frac{MA.MB.MC}{{\left| {MO^2 - R^2} \right|}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 3:59:53 PM

Nếu $M$ nằm trong $(O)$ ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta MBC \sim \Delta MC'B'\\
\Rightarrow \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{MB}}{{MC'}}\\
\Rightarrow \frac{{MA.BC}}{{B'C'}} = \frac{{MA.MB.MC}}{{MC.MC'}}\\
\Rightarrow \frac{{MA.BC}}{{B'C'}} = \frac{{MA.MB.MC}}{{\left| {M{O^2} - {R^2}} \right|}}
\end{array}$
Tương tự như vậy ta có:

$\frac{{MA.BC}}{{B'C'}} = \frac{{MB.CA}}{{C'A'}} = \frac{{MC.AB}}{{A'B'}} = \frac{{MA.MB.MC}}{{\left| {M{O^2} - {R^2}} \right|}} \left( * \right)$
Nếu $M$ nằm ngoài $(O)$, hoàn toàn tương tự ta thấy (*) vẫn đúng.

Nhận xét: Từ (*) với chú ý $B'C',C'A',A'B'$ là độ dài ba cạnh của một tam giác ta thấy: $MA.BC,MB.CA,MC.AB$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác. Kết hợp nhận xét này với định lí Ptôlêmê, ta có kết quả nổi tiếng sau đây, nó thường được gọi là bất đẳng thức Ptôlêmê.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kì, ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
MB.CA + MC.AB \ge MA.BC & \left( 1 \right)\\
MC.AB + MA.BC \ge MB.CA & \left( 2 \right)\\
MA.BC + MB.CA \ge MC.AB & \left( 3 \right)
\end{array} \right.$
Đẳng thức xảy ra ở $(1)$ $ \Leftrightarrow M$ thuộc cung   ( không chứa $A$)
Đẳng thức xảy ra ở $(2)$ $ \Leftrightarrow M$ thuộc cung   ( không chứa $B$)
Đẳng thức xảy ra ở $(3)$ $ \Leftrightarrow M$ thuộc cung   ( không chứa $C$)

Bài 103803

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103803

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan