Bài 103800

Question

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O); M$ là một điểm trong $(O)$. $A _1,B_1,C_1$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng: $S_{A_1B_1C_1} \le \frac{1}{4} .S_ {ABC}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 3:53:22 PM

Giả sử $R$ là bán kính của $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và $(O)$
Ta có: $S\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \frac{1}{2}{C_1}{B_1}.{C_1}{A_1}.\sin \widehat {{A_1}{C_1}{B_1}}$
Áp dụng định lí hàm số sin cho các tam giác $M{C_1}{B_1},M{C_1}{A_1}$ (với chú ý $MA, MB$ là đường kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác này) ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{C_1}{B_1} = MA.\sin A\\
{C_1}{A_1} = MB.\sin B
\end{array} \right.$
Suy ra:
$S\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \frac{1}{2}MA.\sin A.MB.\sin B.\sin \widehat {{B_1}{C_1}{A_1}} \left( 1 \right)$
Vì các tứ giác $M{B_1}A{C_1},M{A_1}B{C_1}$ nội tiếp nên:
$\begin{array}{l}
\widehat {{B_1}{C_1}{A_1}} = \widehat {{B_1}{C_1}M} + \widehat {M{C_1}{A_1}} = \widehat {DAC} + \widehat {MBC}
= \widehat {DBC} + \widehat {MBC} = \widehat {MBD}
\end{array}$
Áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác $MBD$ ta có:
$\begin{array}{l}
MB\sin \widehat {{B_1}{C_1}{A_1}} = MB\sin \widehat {MBD}
= MD\sin \widehat {MDB} = MD\sin C & & \left( 2 \right)
\end{array}$
Từ $(1), (2)$ ta có: $S\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \frac{1}{2}MA.MD\sin A\sin B\sin C$
$\begin{array}{l}
= \frac{1}{2}\left( {{R^2} - M{O^2}} \right)\frac{{AB}}{{2R}}.\frac{{AC}}{{2R}}\sin A\\
= \frac{1}{4}\frac{{{R^2} - M{O^2}}}{{{R^2}}}S\left( {ABC} \right) = \frac{1}{4}\left( {1 - \frac{{M{O^2}}}{{{R^2}}}} \right)S\left( {ABC} \right)
\le \frac{1}{4}S\left( {ABC} \right)
\end{array}$
Vậy $S\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right) \le \frac{1}{4}S\left( {ABC} \right)$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow MO = 0 \Leftrightarrow {\rm M} \equiv O$

Bài 103800

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103800

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan