Bài 103764

Question

Cho nửa đường tròn đường kính

$AB; M$ là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó. Hạ

$MH \bot AB$ . Đường tròn đường kính

$MH$ cắt nửa đường tròn tại

$N$ , cắt

$MA, MB$ tại

$E, F$ . Chứng minh rằng

$AB, MN, EF$ đồng quy.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 2:28:39 PM

Theo giả thiết:

$\widehat {AMB} = \widehat {HEM} = \widehat {HFM} = {90^o}$

$\Rightarrow MEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat {{\rm{EF}}M} = \widehat {HMF}$
Mặt khác

$\widehat {HMF} = \widehat {EAB}$ (cùng phụ với

$\widehat{HMA}$ )
Vậy

$\widehat {{\rm{EF}}M} = \widehat {EAB}$ , suy ra

$AEFB$ là tứ giác nội tiếp.
Gọi

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$ lần lượt là đường tròn đường kính

$AB$ , đường tròn đường kính

$MH$ , đường tròn ngoại tiếp tứ giác

$AEFB$ .
Ta thấy:

$EF$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$

$AB$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right)$

$MN$ là trục đẳng phương của

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ .
Do đó

$EF, AB, MN$ đồng quy tại tâm đẳng phương của

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$ .

1 Đáp án