Bài 103758

Question

Cho tam giác $ABC$, một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $D, E$. Tìm trục đẳng phương của các đường tròn đường kính $BE, CD$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 2:12:48 PM

Gọi ${\rm{AA}}',BB',CC'$ là các đường cao của tam giác $ABC, H$ là trực tâm của nó . Giả sử các đường tròn đường kính $BE, CD$ là $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$. Ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\overline {AB'} .\overline {AC} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA'}}}   \left( {HA'CB' \text{nội tiếp} } \right)\\
\overline {AC'} .\overline {AB} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}'}   \left( {HA'BC' \text{nội tiếp} } \right)
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \overline {AB'} .\overline {AC} = \overline {AC'} .\overline {AB}   \left( 1 \right)$
Mặt khác, theo định lí Talet:
$\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AE} }} = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AD} }} \left( 2 \right)$
Từ $(1), (2)$ suy ra:
$\begin{array}{l}
\overline {AB'} .\overline {AE} = \overline {AC'} .\overline {AD} \\
\Rightarrow \wp A/\left( {{C_1}} \right) = \wp A/\left( {{C_2}} \right)
\end{array}$
$ \Rightarrow A$ thuộc trục đẳng phương của $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
Mặt khác gọi $I, J$ lần lượt là tâm các đường tròn $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ thì chúng tương ứng là trung điểm của $BE, CD$.
Dễ thấy $ IJ \parallel BC$ do đó, trục đẳng phương của $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ nên đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng $AA'$.

Bài 103758

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103758

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan