Bài 103713

Question

Giải các phương trình sau:
a.

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x-1}=2|x|$
b.

$\sqrt[2005]{x^3+3x-3}+\sqrt[2005]{-x^3-3x+5}=2$

score 0 · Answer 1

$a.$
Điều kiện

$x^2-x-1\geq 0 (*)$
Đặt :

$\begin{cases}a=\sqrt{x^2+x+1} \\ y=\sqrt{x^2-x-1}\end{cases}$ .
Khi đó, phương trình được chuyển về dạng:

$a+b=2\sqrt{x^2}$

$\Leftrightarrow x^2=(\frac{a+b}{2})^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{x^2+x+1+x^2-x-1}{2}=x^2$
Do đó, phương trình tương đương với dấu

$"="$ xảy ra cho bất đẳng thức, tức là:

$a=b\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1} =\sqrt{x^2-x-1}$

$\Leftrightarrow x^2+x+1=x^2-x-1\Leftrightarrow x=-1$ , thoả mãn

$(*)$ .
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất

$x=-1$ .

$b.$
Đặt:

$\begin{cases}a= \sqrt[2005]{x^3+3x-3}\\ b= \sqrt[2005]{-x^3-3x+5}\end{cases}$ .
Khi đó, phương trình được chuyển về dạng:

$a+b=2\Leftrightarrow 1=\frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow 1=(\frac{a+b}{2})^{2005}\leq \frac{a^{2005}+b^{2005}}{2}=\frac{x^3+3x-3-x^3-3x+5}{2}=1$
Do đó, phương trình tương đương với dấu

$"="$ xảy ra cho bất đẳng thứ tức là:

$a^2=b^2\Leftrightarrow (\sqrt[2005]{x^3+3x-3})^2=(\sqrt[2005]{-x^3-3x+5})^2$

$\Leftrightarrow (x^3+3x-3)^2=(-x^3-3x+5)^2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^3+3x-3 =-x^3-3x+5 \\x^3+3x-3 = x^3+3x-5 (\textrm{vô nghiệm})\end{array} \right.\Leftrightarrow x^3+3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4)=0\Leftrightarrow(x-1)((x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4})=0\Leftrightarrow x=1$ .
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất

$x=1$

1 Đáp án