Bài 103713

Question

Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x-1}=2|x|$
b. $\sqrt[2005]{x^3+3x-3}+\sqrt[2005]{-x^3-3x+5}=2$

score 0 · Answer 1

$a.$
Điều kiện $x^2-x-1\geq 0      (*)$
Đặt :$ \begin{cases}a=\sqrt{x^2+x+1} \\ y=\sqrt{x^2-x-1}\end{cases}$.
Khi đó, phương trình được chuyển về dạng:
   $a+b=2\sqrt{x^2}$
   $\Leftrightarrow x^2=(\frac{a+b}{2})^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{x^2+x+1+x^2-x-1}{2}=x^2$
Do đó, phương trình tương đương với dấu $"="$ xảy ra cho bất đẳng thức, tức là:
   $a=b\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1} =\sqrt{x^2-x-1} $
   $\Leftrightarrow x^2+x+1=x^2-x-1\Leftrightarrow x=-1$, thoả mãn $(*)$.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1$.

$b.$
Đặt:
   $\begin{cases}a= \sqrt[2005]{x^3+3x-3}\\ b= \sqrt[2005]{-x^3-3x+5}\end{cases}$.
Khi đó, phương trình được chuyển về dạng:
   $a+b=2\Leftrightarrow 1=\frac{a+b}{2}$
   $\Leftrightarrow 1=(\frac{a+b}{2})^{2005}\leq \frac{a^{2005}+b^{2005}}{2}=\frac{x^3+3x-3-x^3-3x+5}{2}=1$
Do đó, phương trình tương đương với dấu $"="$ xảy ra cho bất đẳng thứ tức là:
   $a^2=b^2\Leftrightarrow (\sqrt[2005]{x^3+3x-3})^2=(\sqrt[2005]{-x^3-3x+5})^2$
   $\Leftrightarrow (x^3+3x-3)^2=(-x^3-3x+5)^2$
   $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^3+3x-3 =-x^3-3x+5 \\x^3+3x-3 = x^3+3x-5 (\textrm{vô nghiệm})\end{array} \right.\Leftrightarrow x^3+3x-4=0$
   $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4)=0\Leftrightarrow(x-1)((x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4})=0\Leftrightarrow x=1$.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

ở câu b chưa có điều kiện a và b > 0 nên chưa được xét bất đẳng thức cosi.

Bài 103713

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103713

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan