Bài 103711

Question

Cho tam giác $ABC$, các điểm $D, E$ thuộc cạnh $BC$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD,ACE$ tiếp xúc với $BC$ tại $M, N$.
Chứng minh rằng: $\widehat {BAD} = \widehat {CAE}$ khi và chỉ khi $\frac{1}{BM} + \frac{1}{DM} = \frac{1}{CN} + \frac{1}{EN}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 10:33:05 AM

Gọi $H, K$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD, ACE$ với $AB, AC$ . Đặt $r,{r_1},{r_2}$ là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC, ABD, ACE$.
Ta có: $\frac{1}{{BM}} + \frac{1}{{DM}} = \frac{1}{{CN}} + \frac{1}{{EN}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{BM.DM}} = \frac{{CE}}{{CN.EN}}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{BD}}{{\left( {BA + BD - AD} \right)\left( {DA + DB - AB} \right)}} = \frac{{CE}}{{\left( {CA + CE - AE} \right)\left( {EA + EC - AC} \right)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{BD\left( {AB + AD + BD} \right)\left( {AB + AD - BD} \right)}}{{{S^2}\left( {ABD} \right)}} = \frac{{CE\left( {AC + AE + CE} \right)\left( {AC + AE - CE} \right)}}{{{S^2}\left( {ACE} \right)}}(\text{ sử dụng công thức Hê-rông về diện tích}) \\
\Leftrightarrow \frac{{BD\left( {AB + AD + BD} \right).2AH}}{{\frac{1}{2}BD.{h_a}\frac{{\left( {AB + AD + BD} \right)}}{2}.{r_1}}} = \frac{{CE\left( {AC + AE + CE} \right).2AK}}{{\frac{1}{2}CE.{h_a}\frac{{\left( {AC + AE + CE} \right)}}{2}.{r_2}}} (h_a\text{ là đường cao hạ từ A của } \triangle ABC)\\
\Leftrightarrow \frac{{AH}}{{{r_1}}} = \frac{{AK}}{{{r_2}}} \Leftrightarrow \cot \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = \cot \frac{{\widehat {CAE}}}{2} \Leftrightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAE} \text{ (đpcm). }
\end{array}$

Bài 103711

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103711

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan