Bài 103706

Question

Cho góc nhọn $\widehat {xOy}$; $A, B$ là các điểm trên $Ox$ và $OA = 1; OB = 3$. Đường tròn qua $A, B$ tiếp xúc với $Oy$ tại $C$. Chứng minh rằng: $\widehat {xOy} \ge {30^o} \Leftrightarrow \widehat {ACB} \le {90^o}$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 10:20:53 AM

$\Delta OCA \sim \Delta OBC \Rightarrow \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OC}}$
$ \Rightarrow O{C^2} = OA.OB \Rightarrow O{C^2} = 3 \Rightarrow OC = \sqrt 3 $. Theo định lí hàm số cosin ta có:
$\begin{array}{l}
\widehat {ACB} \le {90^o} \Leftrightarrow \cos \widehat {ACB} \ge 0\\
\Leftrightarrow C{A^2} + C{B^2} - A{B^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow O{A^2} + O{C^2}
- 2OA.OC\cos \widehat {xOy} + O{B^2} + O{C^2}
- 2OB.OC\cos \widehat {xOy} - A{B^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow 1 + 3 - 2.1.\sqrt 3 \cos \widehat {xOy}
+ 9 + 3 - 2.3.\sqrt 3 \cos \widehat {xOy} - 4 \ge 0\\
\Leftrightarrow 8\sqrt 3 \cos \widehat {xOy} \le 12\\
\Leftrightarrow \cos \widehat {xOy} \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \widehat {xOy} \ge {30^o} \left( \text{đpcm}\right)
\end{array}$

Bài 103706

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103706

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan