Bài 103701

Question

Cho tam giác $ABC, M$ là một điểm trong phân giác.
a) Chứng minh rằng $MA.S\left( {MBC} \right);MB.S\left( {MCA} \right);MC.S\left( {MAB} \right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác mà ta kí hiệu là $\Delta \left( M \right)$.
b) Tìm $M$ sao cho diện tích tam giác $\Delta \left( M \right)$ lớn nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 10:14:24 AM

a) đặt $\alpha = \widehat {BMC};\beta = \widehat {CMA};\gamma = \widehat {AMB} $
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{0^o} < \alpha ,\beta ,\gamma < 18{0^o}\\
\alpha + \beta + \gamma = {360^o}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{0^o} < {180^o} - \alpha ,{180^o} - \beta ,18{0^o} - \gamma < {180^o}\\
\left( {{{180}^o} - \alpha } \right) + \left( {{{180}^o} - \beta } \right) + \left( {{{180}^o} - \gamma } \right) = {180^o}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy tồn tại tam giác $A'B'C'$ có $\widehat {A'} = {180^o} - \alpha ;\widehat {B'} = {180^o} - \beta ;\widehat {C'} = {180^o} - \gamma .$
Áp dụng định lí hàm số sin cho $\Delta A'B'C'$ ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)}}{{B'C'}} = \frac{{\sin \left( {{{180}^o} - \beta } \right)}}{{C'A'}} = \frac{{\sin \left( {{{180}^o} - \gamma } \right)}}{{A'B'}}\\
\Rightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{B'C'}} = \frac{{\sin \beta }}{{C'A'}} = \frac{{\sin \gamma }}{{A'B'}}\\
\Rightarrow \frac{{\left( {\frac{1}{2}MB.MC\sin \alpha } \right).MA}}{{B'C'}} = \frac{{\left( {\frac{1}{2}MC.M{\rm{A}}\sin \beta } \right).MB}}{{C'A'}} = \frac{{\left( {\frac{1}{2}MA.MB\sin \gamma } \right).MC}}{{A'B'}}\\
\Rightarrow \frac{{S\left( {MBC} \right).MA}}{{B'C'}} = \frac{{S\left( {MCA} \right).MB}}{{C'A'}} = \frac{{S\left( {MAB} \right).MC}}{{A'B'}}
\end{array}$
$ \Rightarrow S\left( {MBC} \right).MA,S\left( {MCA} \right).MB,S\left( {MAB} \right).MC$ là độ dài ba cạnh của một tam giác (đồng dạng với $\Delta A'B'C'$). Theo đề bài, ta kí hiệu nó là $\Delta \left( M \right)$.

b) Đặt ${S_{\Delta \left( M \right)}}$ là diện tích tam giác $\Delta \left( M \right)$. Theo câu a), ta có:
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta \left( M \right)}} = \frac{1}{2}S\left( {MCA} \right).MB.S\left( {MAB} \right).MC.\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\\
= \left( {\frac{1}{2}MB.MC.\sin \alpha } \right).S\left( {MCA} \right).S\left( {MAB} \right)\\
= S\left( {MBC} \right).S\left( {MCA} \right).S\left( {MAB} \right)
\le {\left( {\frac{{S\left( {MBC} \right) + S\left( {MCA} \right) + S\left( {MAB} \right)}}{3}} \right)^3}\\
= \frac{1}{{27}}{S^3}\left( {ABC} \right)
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow S\left( {MBC} \right) = S\left( {MCA} \right) = S\left( {MAB} \right)$ $ \Leftrightarrow $$M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Vậy ${S_{\Delta \left( M \right)}}$ lớn nhất khi $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và giá trị lớn nhất đó bằng $\frac{1}{{27}}{S^3}\left( {ABC} \right)$.

Bài 103701

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103701

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan