Bài 103677

Question

Cho tam giác $ABC$. Về phía ngoài nó ta dựng các tam giác $BCA_1,CAB_1,ABC_1$ cân tại $A_1,B_1,C_1$ và đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/9/2012 9:51:21 AM

Không mất tính tổng quát, giả sử $A \ge B \ge C$.

Trường hợp 1
$A + \alpha \le {180^o}$
Trong trường hợp này ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1};B{B_1};C{C_1}$ cắt các đoạn $BC;CA;AB$. Gọi giao điểm của chúng với $BC,CA,AB$ lần lượt là $M,N,P$. Ta có :
$\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \left( { - \frac{{MB}}{{MC}}} \right).\left( { - \frac{{NC}}{{NA}}} \right).\left( { - \frac{{PA}}{{PB}}} \right)$
$\begin{array}{l}
= - \frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = - \frac{{S\left( {AB{A_1}} \right)}}{{S\left( {{\rm{AC}}{{\rm{A}}_1}} \right)}}.\frac{{S\left( {BC{B_1}} \right)}}{{S\left( {BA{B_1}} \right)}}.\frac{{S\left( {CA{C_1}} \right)}}{{S\left( {CB{C_1}} \right)}}\\
= - \frac{{BA.B{A_1}\sin \left( {B + \alpha } \right)}}{{CA.C{A_1}\sin \left( {C + \alpha } \right)}}.\frac{{CB.C{B_1}\sin \left( {C + \alpha } \right)}}{{AB.A{B_1}\sin \left( {A + \alpha } \right)}}.\frac{{AC.A{C_1}\sin \left( {A + \alpha } \right)}}{{BC.B{C_1}\sin \left( {B + \alpha } \right)}}
\end{array}$
$ = - 1$ (vì $B{A_1} = C{A_1};C{B_1} = A{B_1};A{C_1} = B{C_1}$)
Vậy ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1},B{B_1},C{C_1}$ đồng quy.

Trường hợp 2
$A + \alpha > {180^o}$ . Khi đó $B + \alpha < {180^o}$. Thật vậy : Nếu $B + \alpha \ge {180^o}$ thì $A + B + 2\alpha > {360^o} \Rightarrow 2\alpha > C + {180^o} > 2\alpha $,mâu thuẫn.Trong trường hợp này ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}$ cắt đoạn $BC,B{B_1}$ cắt tia đối của tia $AC$,$C{C_1}$ cắt tia đối của tia $AB$. Gọi giao điểm của ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1},B{B_1},C{C_1}$ với đoạn $BC$ và tia đối của các tia $AC,AB$ là $M,N,P$. Ta có :
$\begin{array}{l}
\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \left( { - \frac{{MB}}{{MC}}} \right).\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}}\\
= - \frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}}\\
= - \frac{{S\left( {AB{A_1}} \right)}}{{S\left( {{\rm{AC}}{{\rm{A}}_1}} \right)}}.\frac{{S\left( {BC{B_1}} \right)}}{{S\left( {BA{B_1}} \right)}}.\frac{{S\left( {CA{C_1}} \right)}}{{S\left( {CB{C_1}} \right)}}\\
= - \frac{{BA.B{A_1}\sin \left( {B + \alpha } \right)}}{{CA.C{A_1}\sin \left( {C + \alpha } \right)}}.\frac{{CB.C{B_1}\sin \left( {C + \alpha } \right)}}{{AB.A{B_1}\sin \left[ {{{180}^o} - \left( {A + \alpha } \right)} \right]}}.\frac{{AC.A{C_1}\sin \left[ {{{180}^o} - \left( {A + \alpha } \right)} \right]}}{{BC.B{C_1}\sin \left( {B + \alpha } \right)}}\\
= - 1
\end{array}$
Vậy ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1},B{B_1},C{C_1}$ đồng quy.

Bài 103677

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103677

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan