Bài 103592

Question

Cho hình thang $ABCD$; $\left( {AB//CD} \right),AD \cap BC = E,AC \bot BD,\widehat {CED} = {60^O},AB = a,DC = b\left( {a < b} \right)$
Tính $S\left( {ABCD} \right)$ theo $a,b$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:58:04 PM

Đặt $O = AC \cap BD;I,J$ là trung điểm của $AB,CD$.Dễ thấy : $E,I,J,O$ thẳng hàng và ${\rm{IJ}} = OI + {\rm{OJ}} = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{{2}}\left( {a + b} \right)$
Theo định lí Talet :
$\frac{{EI}}{{{\rm{EJ}}}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{{{\rm{IJ}}}}{{{\rm{EJ}}}} = \frac{{b - a}}{b}$
Suy ra : ${\rm{EJ}} = \frac{b}{{b - a}}{\rm{IJ}} = \frac{{b\left( {a + b} \right)}}{{2\left( {b - a} \right)}}$ (1)
Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến và định lí hàm số cosin cho $\Delta ECD$, ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
4{\rm{E}}{{\rm{J}}^2} = 2\left( {E{D^2} + E{C^2}} \right) - C{D^2}\\
C{D^2} = E{D^2} + E{C^2} - 2EC.EDc{\rm{os}}{60^\circ}
\end{array} \right.$
Từ (1) với chú ý rằng $CD = b$ ta có :
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}} = 2\left( {E{D^2} + E{C^2}} \right) - {b^2}\\
2\left( {E{D^2} + E{C^2}} \right) = 2{b^2} + 2ED.EC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}} = {b^2} + 2ED.EC\\
\Rightarrow \frac{1}{2}ED.EC\sin {60^\circ} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{b^2}\left( {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}} - 1} \right)\\
\Rightarrow S\left( {EDC} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{b^3}a}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}
\end{array}$
Suy ra : $S\left( {ABCD} \right) =S(EDC)-S(EAB) =\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)S\left( {EDC} \right)$
$ = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{b^2}}}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{b^3}a}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}} = \boxed{\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{ab\left( {a + b} \right)}}{{b - a}}} $ (đvdt)

Bài 103592

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103592

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan