Bài 103591

Question

Cho tam giác $ABC; M$ là một điểm trong tam giác. $AM, BM, CM$ theo thứ tự cắt $BC, CA, AB$ tại $A',B',C'$. Chứng minh rằng: $S(A'B'C') \le \frac{1}{4}S(ABC)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:54:13 PM

Tồn tại các số $\alpha ,\beta ,\gamma > 0$ sao cho:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma = 1\\
\alpha \overrightarrow {MA} + \beta \overrightarrow {MB} + \gamma \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 & \left( * \right)
\end{array} \right.$
Ta có
    $S\left( {MB'C'} \right) = \frac{{MB'}}{{MB}}.\frac{{MC'}}{{MC}}S\left( {MBC} \right)$
Mặt khác $\frac{{S\left( {MBC} \right)}}{{S\left( {ABC} \right)}} = \frac{{MA'}}{{{\rm{AA}}'}}$ ( cùng chung đáy $BC$)
    $ \Rightarrow S\left( {MBC} \right) = \frac{{MA'}}{{{\rm{AA}}'}}S\left( {ABC} \right)$
Vậy $S\left( {MB'C'} \right) = \frac{{MB'}}{{MB}}.\frac{{MC'}}{{MC}}.\frac{{MA'}}{{{\rm{AA'}}}}S\left( {ABC} \right)$
Từ (*), nhờ các phép chiếu vecto ta có:
    $\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{\alpha }{{\beta + \gamma }};\frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{\beta }{{\gamma + \alpha }};\frac{{MC'}}{{MC}} = \frac{\gamma }{{\alpha + \beta }}$
Suy ra: $S\left( {MB'C'} \right) = \frac{\beta }{{\gamma + \alpha }}.\frac{\gamma }{{\alpha + \beta }}.\frac{\alpha }{{\alpha + \beta + \gamma }}S\left( {ABC} \right)$ $ = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{\left( {\gamma + \alpha } \right)\left( {\alpha + \beta } \right)}}S\left( {ABC} \right) \left( 1 \right)$
Tương tự như vậy ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
S\left( {MC'A'} \right) = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)}}S\left( {ABC} \right) & & (2)\\
S\left( {MA'B'} \right) = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{\left( {\beta + \gamma } \right)\left( {\gamma + \alpha } \right)}}S\left( {ABC} \right) & & (3)
\end{array} \right.$
Từ (1), (2),(3) với chú ý : $\alpha + \beta + \gamma = 1$ ta có :
$S(A'B'C') =S(MA'B')+S(MB'C')+S(MC'A')= \frac{2\alpha \beta \gamma}{(\alpha + \beta )(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)}S(ABC)$
$ \le \frac{2\alpha \beta \gamma}{2\sqrt{\alpha \beta}. 2\sqrt{\beta \gamma}. 2\sqrt{\gamma \alpha }}S(ABC) =\frac{1}{4}S(ABC)$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \alpha = \beta = \gamma \Leftrightarrow {\rm M}$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Bài 103591

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103591

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan