Bài 103580

Question

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M, N, P$ thuộc các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng $AM, BN, CP$ đồng quy khi và chỉ khi: $\frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:36:09 PM

Trước hết ta chứng minh một bổ đề.
Bổ đề: Cho bốn góc $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '$ thỏa mãn;
$\left\{ \begin{array}{l}
\alpha + \beta = \alpha ' + \beta ' < {180^o}\\
\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }} = \frac{{\sin \alpha '}}{{\sin \beta '}}
\end{array} \right.$
Khi đó: $\alpha = \alpha ';\beta = \beta '.$
Chứng minh

Cách 1: Dựng $\Delta ABC:\widehat A = \alpha + \beta = \alpha ' + \beta '$
Lấy $M,M'$ thuộc đoạn BC sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAM} = \alpha ;\widehat {CAM} = \beta \\
\widehat {BAM'} = \alpha ';\widehat {CAM'} = \beta '
\end{array} \right.$.
Ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{S\left( {AMB} \right)}}{{S\left( {AMC} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}AM.AB.\sin \alpha }}{{\frac{1}{2}AM.AC.\sin \beta }}
= \frac{{\frac{1}{2}AM'.AB\sin \alpha '}}{{\frac{1}{2}AM'.AC.\sin \beta '}} = \frac{{S\left( {AM'B} \right)}}{{S\left( {AM'C} \right)}} = \frac{{M'B}}{{M'C}}
\end{array}$
Suy ra: $M \equiv M' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\alpha = \alpha '\\
\beta = \beta '
\end{array} \right.$

Cách 2: Vẽ $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ sao cho:
    $\widehat A = \alpha ,\widehat B = \beta ,\widehat {A'} = \alpha ',\widehat {B'} = \beta '$
Từ giả thiết và định lí hàm số sin ta có:
    $\frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }} = \frac{{\sin \alpha '}}{{\sin \beta '}} = \frac{{C'B'}}{{C'A'}}$
Mặt khác, $\alpha + \beta = \alpha ' + \beta ' \Rightarrow \widehat C = \widehat {C'}$
Suy ra $\Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$. Vậy $\alpha = \alpha ',\beta = \beta '$.

Trở lại bài toán đang xét

Nếu $AM,BN,CP$ đồng quy và giả sử điểm đồng quy đó là $O$.
áp dụng định lí hàm số sin cho các tam giác $OAB,OBC,OCA$ ta có :
$\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OBA}}} = \frac{{OB}}{{OA}};\frac{{\sin \widehat {OBC}}}{{\sin \widehat {OCB}}} = \frac{{OC}}{{OB}};\frac{{\sin \widehat {OCA}}}{{\sin \widehat {OAC}}} = \frac{{OA}}{{OC}}$
Suy ra:$\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OBA}}}.\frac{{\sin \widehat {OBC}}}{{\sin \widehat {OCB}}}.\frac{{\sin \widehat {OCA}}}{{\sin \widehat {OAC}}} = \frac{{OB}}{{OA}}.\frac{{OC}}{{OB}}.\frac{{OA}}{{AB}}$
    $ \Rightarrow \frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$
Ngược lại, nếu : $\frac{{\sin \widehat {MAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1$    $(1)$
Giả sử $BN, CP$ cắt nhau tại $O$. Theo phần thuận
    $\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OAC}}}.\frac{{\sin \widehat {NBC}}}{{\sin \widehat {NBA}}}.\frac{{\sin \widehat {PCA}}}{{\sin \widehat {PCB}}} = 1 \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra:
    $\frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {MAC}}} = \frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {OAC}}}$
Theo bổ đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MAB} = \widehat {OAB}\\
\widehat {MAC} = \widehat {OAC}
\end{array} \right. \Rightarrow $$O$ thuộc $AM$.
Vậy $AM, BN, CP$ đồng quy.

Bài 103580

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103580

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan