Bài 103568

Question

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
$S = \frac{1}{3}\sqrt {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)\left( {{m_b} + {m_c} - {m_a}} \right)\left( {{m_c} + {m_a} - {m_b}} \right)\left( {{m_a} + {m_b} - {m_c}} \right)} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:17:02 PM

Ta chứng minh một bổ đề.
Bổ đề: Ba trung tuyến ${m_a},{m_b},{m_c}$ của tam giác $ABC$ là độ dài ba cạnh của một tam giác với diện tích ${S_m} = \frac{3}{4}S$
Chứng minh:
Gọi $AM,BN,CP$ là các trung tuyến của tam giác $ABC$. Dựng hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$ là trung điểm $CD$. Dễ thấy: $ME = BN;EA = CP$. Vậy $\Delta AME$ có độ dài ba cạnh là ${m_a},{m_b},{m_c}$.
Mặt khác: ${S_m} = S\left( {AME} \right)$
$\begin{array}{l}
= S\left( {ABCD} \right) - S\left( {ABM} \right) - S\left( {ADE} \right) - S\left( {CME} \right)\\
= 2S - \frac{1}{2}S - \frac{1}{2}S - \frac{1}{4}S\\
= \frac{3}{4}S
\end{array}$
Nhận xét:
- Bổ đề trên còn được dùng trong một số bài khác.
-   Không những có độ dài ba cạnh là ${m_a},{m_b},{m_c}$ tam giác $AME$ còn có độ dài ba trung tuyến tương ứng là $\frac{3}{4}a,\frac{3}{4}b,\frac{3}{{4c}}$.
Trở lại bài toán đang xét.
Áp dụng bổ đề trên và công thức Hêrông ta có:
    $\begin{array}{l}
S = \frac{4}{3}{S_m} = \frac{4}{3}.\frac{1}{4}\sqrt {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)\left( {{m_b} + {m_c} - {m_a}} \right)\left( {{m_c} + {m_a} - {m_b}} \right)\left( {{m_a} + {m_b} - {m_c}} \right)} \\
= \frac{1}{3}\sqrt {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)\left( {{m_b} + {m_c} - {m_a}} \right)\left( {{m_c} + {m_a} - {m_b}} \right)\left( {{m_a} + {m_b} - {m_c}} \right)}   \left( \text{đpcm} \right)
\end{array}$

Bài 103568

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103568

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan