Bài 103557

Question

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $\frac{r}{R} \le \frac{1}{2}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 4:02:04 PM

$\frac{r}{R} = \frac{{\frac{S}{p}}}{{\frac{{abc}}{{4S}}}} = \frac{{4{S^2}}}{{pabc}} = \frac{{4p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p.abc}}$
$ = \frac{{\frac{1}{2}\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} \left( 1 \right)$
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
$\sqrt {\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \le \frac{{c + a - b + a + b - c}}{2} = a$
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)} \le b\\
\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)} \le c
\end{array} \right.$
Suy ra $\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {c + a - b} \right) \le abc \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{r}{R} \le \frac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b + c - a = c + a - b = a + b - c \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Cách giải khác :
Gọi $ O, I $ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $ABC$. Theo Hệ thức Ơ-le trong Bài 103736 ta có :
$ R^2 - 2Rr = OI^2 \ge 0 \Rightarrow R^2 \ge 2Rr \Rightarrow \frac{r}{R} \le \frac{1}{2}$ (đpcm).
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow O \equiv I \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài 103557

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103557

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan