Bài 103506

Question

Trong mặt phẳng tọa độ cho $\overrightarrow a = \left( {2; - 4} \right);\overrightarrow b = \left( {3; - 2} \right)$. Tìm $\overrightarrow x $ biết:
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow x = 6;|\overrightarrow x | = \frac{1}{2}\sqrt {65} $
b) $\overrightarrow x .\overrightarrow b = 10;|\overrightarrow x |$ nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 2:52:54 PM

a) Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow x = \left( {\alpha ,\beta } \right)\\
\overrightarrow a = \left( {2, - 4} \right)
\end{array} \right.$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow a .\overrightarrow x = 6\\
\left| {\overrightarrow x } \right| = \frac{1}{2}\sqrt {65}
\end{array} \right.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\alpha - 4\beta = 6\\
{\alpha ^2} + {\beta ^2} = \frac{{65}}{4}
\end{array} \right.$
Giải hệ tìm được $\left\{ \begin{array}{l}
\alpha = 4\\
\beta = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
\alpha = - \frac{{14}}{5}\\
\beta = - \frac{{29}}{{10}}
\end{array} \right.$
Vậy $\overrightarrow x = \left( {4;\frac{1}{2}} \right)$ hoặc $\overrightarrow x = \left( {\frac{{ - 14}}{5};\frac{{ - 29}}{{10}}} \right)$.
b) Đặt $\overrightarrow x = \left( {\alpha ;\beta } \right),\overrightarrow b = \left( {3; - 2} \right)$. Ta có:
    $\overrightarrow x .\overrightarrow b = 10 \Leftrightarrow 3\alpha - 2\beta = 10$
Vì
$\begin{array}{l}
{\left| {\overrightarrow x } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} \ge {\left( {\overrightarrow x .\overrightarrow b } \right)^2} \Rightarrow \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right).13 \ge 100\\
\Rightarrow {\left| {\overrightarrow x } \right|^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} \ge \frac{{100}}{{13}}
\end{array}$
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \overrightarrow x \parallel \overrightarrow b \Leftrightarrow 3\beta - \left( { - 2} \right)\alpha = 0$ kết hợp với điều kiện $3\alpha - 2\beta = 10$ tìm được
        $\alpha = \frac{{30}}{{13}};\beta = - \frac{{20}}{{13}}$
Vậy vectơ $\overrightarrow x $ có độ dài nhỏ nhất thỏa mãn $\overrightarrow x .\overrightarrow b = 10$ là $\overrightarrow x = \left( {\frac{{30}}{{13}};\frac{{ - 20}}{{13}}} \right)$, khi đó $\left| {\overrightarrow x } \right| = \frac{{10\sqrt {13} }}{{13}}$.

Bài 103506

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103506

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan