Bài 103495

Question

Cho tam giác $ABC; M$ là điểm trong tam giác, đặt $\alpha = \widehat {BMC},\beta = \widehat {CMA},\gamma = \widehat {AMB}$. Chứng minh rằng với mọi điểm $N$ ta có:
$NA\sin \alpha + NB\sin \beta + NC\sin \gamma \ge MA\sin \alpha + MB\sin \beta + MC\sin \gamma $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/8/2012 2:36:28 PM

Với mọi điểm $N$ ta có:
$\begin{array}{l}
N{\rm{Asin}}\alpha {\rm{ + NBsin}}\beta {\rm{ + NCsin}}\gamma {\rm{ = }}\\
{\rm{ = }}\frac{{NA.MA}}{{MA}}\sin \alpha + \frac{{NB.MB}}{{MB}}\sin \beta + \frac{{NC.MC}}{{MC}}\sin \gamma
\ge \frac{{\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {MA} }}{{MA}}\sin \alpha + \frac{{\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {MB} }}{{MB}}\sin \beta + \frac{{\overrightarrow {NC} .\overrightarrow {MC} }}{{MC}}\sin \gamma \\
= \frac{{\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MA} } \right).\overrightarrow {MA} }}{{MA}}\sin \alpha + \frac{{\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {MB} }}{{MB}}\sin \beta + \frac{{\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MC} } \right).\overrightarrow {MC} }}{{MC}}\sin \gamma \\
= \overrightarrow {NM} \left( {\frac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}\sin \alpha + \frac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}}\sin \beta + \frac{{\overrightarrow {MC} }}{{MC}}\sin \gamma } \right) + \left( {M{\rm{A}}\sin \alpha + MB\sin \beta + MC\sin \gamma } \right)\\
= \frac{{2\overrightarrow {NM} }}{{MA.MB.MC}}\left[ {S\left( {MBC} \right).\overrightarrow {MA} + S\left( {MCA} \right)\overrightarrow {MB} + S\left( {MAB} \right)\overrightarrow {MC} } \right]+\\ + \left( {M{\rm{A}}\sin \alpha + MB\sin \beta + MC\sin \gamma } \right)\\
= M{\rm{Asin}}\alpha {\rm{ + MBsin}}\beta {\rm{ + MCsin}}\gamma
\end{array}$
Vì $\left[ {S\left( {MBC} \right).\overrightarrow {MA} + S\left( {MCA} \right)\overrightarrow {MB} + S\left( {MAB} \right)\overrightarrow {MC} } \right] = \overrightarrow 0 $
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow N \equiv M$.

Bài 103495

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103495

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan