Bài 103447

Question

Cho tam giác $ABC$ với $AB = 3;AC = 5;BC = 7$. $M$ và $N$ là $2$ điểm xác định bởi $\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} $. $E$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $AE \bot MN$. Tính $BE$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 5:33:57 PM

Đặt $BE = x \Rightarrow EC = 7 - x\left( {0 \le x \le 7} \right)$
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AE} = \frac{{EC}}{{BC}}\overrightarrow {AB} + \frac{{EB}}{{BC}}\overrightarrow {AC} = \frac{{7 - x}}{7}\overrightarrow {AB} + \frac{x}{7}\overrightarrow {AC} \\
\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}
\end{array}$
Vậy $\overrightarrow {AE} \bot \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {MN} = 0 \Leftrightarrow 7\overrightarrow {AE} .12\overrightarrow {MN} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\left( {7 - x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right]\left( {9\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9\left( {7 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - 8\left( {7 - x} \right){\overrightarrow {AB} ^2} + 9x{\overrightarrow {AC} ^2} - 8x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\
\Leftrightarrow 9\left( {x - 7} \right).\frac{{15}}{2} + 8\left( {x - 7} \right).9 + 9x.25 + 8x.\frac{{15}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{651}}{{283}}
\end{array}$
Chú ý rằng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {AB}| .|\overrightarrow {AC}|. \cos \left ( \overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} \right ) =3.5.\frac{3^2+5^2-7^2}{2.3.5}=-\frac{{15}}{2}$.
Vậy $\boxed{BE = \frac{{651}}{{283}}}$.

Bài 103447

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103447

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan