Bài 103434

Question

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $2$ dây $AB, CD$ của nó. Tìm $M \in \left( O \right)$ sao cho $MA^2 + MB^2 = MC^2 + MD^2$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 4:42:52 PM

Gọi $P$ và $Q$ là trung điểm các dây $AB, CD$.
- Nếu $P \equiv Q$ thì $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó với mọi điểm $M$ trên đường tròn $\left( O \right)$ đều có:
        $M{A^2} + M{B^2} = M{C^2} + M{D^2} = 4{R^2}$
-Xét trường hợp $P$ không trùng $Q:\forall M \in \left( {O;R} \right)$ ta có
        $M{A^2} + M{B^2} = M{C^2} + M{D^2}$
     $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = 4{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OP} = 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OQ} \Leftrightarrow \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OQ} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {QP} = 0\\
\Leftrightarrow MO \bot PQ
\end{array}$
Vậy có $2$ điểm thỏa mãn bài toán, đó là $2$ đầu mút đường kính của đường tròn $\left( O \right)$, vuông góc với $PQ$.

Bài 103434

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103434

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan