Bài 103428

Question

Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:
a) $ABCD$ là hình chữ nhật.
b) $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {BC} \forall M$
c) $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \forall M$
d) $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2 \forall M$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 4:26:45 PM

Giả sử $ABCD$ là hình chữ nhật, $M$ là điểm tùy ý, $O = AC \cap BD$.
a)    $ \Rightarrow $b). Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $AD, BC$ lần lượt ở $H, K.$ Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} = \overline {HA} .\overline {AD} = \\
= \overline {KB} .\overline {BC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {BC}
\end{array}$
a)    $ \Rightarrow $c). $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$
$ \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \left( { = \overrightarrow 0 } \right)$
Suy ra:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right) = M{O^2} + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} \\
\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right) = M{O^2} + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OD}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD}
\end{array}$
a)    $ \Rightarrow $d). $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \left( { = 2\overrightarrow {MO} } \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right)^2}\\
\Rightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \\
\Rightarrow M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2}
\end{array}$
b)    $ \Rightarrow $a) Giả sử có $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {BC} \left( {\forall M} \right)$
Cho $M$ lần lượt trùng với $A, B$ ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot BC & \left( 1 \right)\\
AB \bot AD & \left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Cho $M$ trùng $C$ ta có $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BC} $
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} } \right).\overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BC} \left( {\text {vì }\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} = 0\\
\Rightarrow \overrightarrow {CB} \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} } \right) = 0\\
\Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow CB \bot CD & \left( 3 \right)
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right) \left( 2 \right) \left( 3 \right)$ suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật.
c)    $ \Rightarrow $a). Giả sử $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \left( {\forall M} \right)$
Cho $M$ lần lượt trùng với $A, B, C$ ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\\
\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AD\\
BA \bot BC\\
CB \bot CD
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ $ABCD$ là hình chữ nhật.
d)    $ \Rightarrow $a). Giả sử $M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2} \left( {\forall M} \right)$
$ \Rightarrow \left( {M{A^2} + M{C^2}} \right) - \left( {M{B^2} + M{D^2}} \right) = 0 \left( {\forall M} \right)$
$ \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành
Cho $M$ lần lượt trùng với $A, B$ ta có:
    $\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\\
B{D^2} = B{A^2} + B{C^2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A{C^2} = B{D^2} & & \left( {\text {vì } AD = BC} \right)\\
\Rightarrow AC = BD
\end{array}$
Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật.

Bài 103428

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103428

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan